高二数学选修2-21.1.3导数的概念

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1、1.1.3导数的概念2苏教高中数学选修2-2yyyy年M月d日星期3①y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率复习提问②注意：1.导数的概念定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx0时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作即:数学理论梳理如瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.是函数f(x)在以x0与x0+Δx为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x

2、0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数f(x)在点x0处不可导.由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:2、函数在一区间上的导数：如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时,对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f/(x0),这样就在开区间(a,b)内构成了

3、一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作即f(x0)与f(x)之间的关系：1、y=f’(x)是y=f(x)的导函数注意：2、f’(x0)是y=f(x)在点x0处的导数值也即f’(x)在点x0处的函数值（是一个函数）（是一个常数）切线方程为4.导数的几何意义巩3设f(x)为可导函数,且满足条件,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.故所求的斜率为-2.巩固4对于导数定义以及几何意义的说明：注意(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在;(2)在定义导数的极限

4、式中，趋近于0且可正、可负,但不为0，而可能为0;是函数对自变量在某范围内的平均变化率,其几何意义是过曲线上点()及点()的割线斜率;(4)导数是函数在点处瞬时变化率,它反映函数在点处变化快慢程度.它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率.如果在点可导,则曲线在点（）处的切线方程为(5)导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关.(6)在定义式中,设,则,当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成(7)若极限不存在，则称函数在点处不可导;(8)若在可导，则曲线在点（）有切线存在，反之不然，若曲线在点（）

5、有切线，函数在()不一定可导,并且,若函数在不可导，曲线在点()也可能有切线.Ex4判断下列各命题的真假:(1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P0,P1,P2,P3,…Pn…,则过P0与Pn两点的直线的斜率就是函数在点P0处的导数.答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象)的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一个假命题.(2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬时速度V等于答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真命题.答:它是一个

6、假命题.例如,函数在x=0处连续,但它在x=0处的导数不存在.(4)设是函数y=f(x)的图象上的三点,且函数在P1,P2,P3三点处的导数均存在.若,则必有答:,由于f(x)的导函数未必是单调增函数.因此,不一定成立,例如f(x)=x3,则显然有故是假命题.(3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一只要函数在x0处连续,则就必存在.二、函数的可导与连续2、如图：即：可导一定连续，连续不一定可导.DC练习1(3)函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.

7、既不充分也不必要条件A例1判断函数y=

8、3x-1

9、在x=1/3处是否可导.从而函数y=

10、3x-1

11、在x=1/3处不可导.注:这是一个函数在某点连续但不可导的例子.例题选讲Ex2:函数f(x)=

12、x

13、(1+x)在点x0=0处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由.故函数f(x)=

14、x

15、(1+x)在点x0=0处没有导数,即不可导.例2证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数;(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供课后练习用.例题选讲练

16、习2课堂小结a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）算平均变化率；（3）找极限,得导数。c.弄