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《高等数学(微积分)课件--§8.6多元函数极值与最值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§8.7二重积分一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算三、积分区域无界的广义二重积分*1曲顶柱体引例1：曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体平顶柱体的高是固定的，平顶柱体的高是变化的2复习曲边梯形的面积计算1：分割2：近似计算3：求和4：求极限3“分割,近似,求和,取极限”思想求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．播放4求曲顶柱体体积的具体步骤用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶
2、柱体的体积5平面薄片的质量引例2：平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量6二重积分的概念定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭区域1,2,…,n,其中i表示第i个小区域,也表示它的面积;在每个i上任取一点(i,i),作乘积f(i,i)i(i=1,2,…,n),并作和;如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时,这和的极限存在,则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作叫做被积函数
3、,叫做被积表达式,叫做面积元素,与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。7关于二重积分定义的说明(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(3)在直角坐标系中,若用平行于坐标轴的直线网划分,则二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时,二重积分是柱体体积的负值．一般,D上的二重积分等于部分区域上的柱体体积的代数和。D二重积分仅与积分区域D，被积函数f(x,y)有关8二重积分的性质(1~5)性质1（
4、k为常数）性质2性质3性质4若为D的面积,则性质5若在D上则有特别地:9课堂练习设D是以A(0,1),B(3,1),C(3,0)为顶点的三角区域，10二重积分的性质(6~7)性质6(估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则性质7(二重积分中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,则在D上至少存在一点(,),使得11例题与讲解例：不做计算,估计其中D是椭圆闭区域解12直角坐标下计算二重积分应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法[page236]，可
5、以在直角坐标下计算二重积分。X-型积分区域D：［X－型］其中函数、在区间上连续.13axbX-型积分区域上计算二重积分将二重积分的值看作以D为底,以z=f(x,y)为曲面的“曲顶柱体”体积。应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,垂直x轴作平行截面。得14化二重积分为累次积分1：第一次关于y积分，y是积分变量，x为常量,积分结果是x的函数2：第二次关于x积分，x是积分变量，积分结果是常数15Y-型积分区域上计算二重积分Y-型积分区域D：［Y－型］垂直y轴作平行截面16其它类型的积分区域X型区域的特点
6、:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式17矩形区域18例题与讲解例：改变积分的次序解：积分区域如图19例题与讲解例：改变积分的次序解：积分区域如图20例题与讲解*例：改变积分的次序解：原式21课堂练习1：将二重积分按2种顺序化为累次积分，积分区域D如下：(1)D是由y2=8x与x2=y所围成的区域(2)D是由y=x2与y=2-x2所围成的区域2:交换下列积分的
7、次序22课堂练习答案23例题与讲解例：求积分其中D是由抛物线y=x2和x=y2围成的闭区域。解：24例题与讲解例：求积分其中D是以(0,0)、(1,1)、(0,1)为顶点的三角形区域。解：25例题与讲解例：计算积分解：2627求“曲顶柱体”体积的演示(1)求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．28求“曲顶柱体”体积的演示(2)求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．29求“曲顶柱体”体积的演示(3)求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的
8、方法，如下动画演示．30求“曲顶柱体”体积的演示(4)求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．31求“曲顶柱体”体积的演示(5)求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．32求“曲顶柱体”体积的演示(6)求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示．33
