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1、一、多元函数极值及最大、最小值第八节多元函数的极值及其求法1.定义：若函数z=f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内有f(x,y)≤f(x0,y0)（或f(x,y)≥f(x0,y0)）则称函数z=f(x,y)在(x0,y0)有极大值f(x0,y0)（极小值f(x0,y0)），(x0,y0)称为函数z=f(x,y)的极大值点（极小值点）。极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点；注意：极大值(或极小值)是局部的最大值(或最小值)。2021/10/71(1)(2)(3)例1例2例32021/10/722.多元函数取得极值的条件证明：(略)注意:使偏导数
2、都为0的点称为驻点。但驻点不一定是极值点。例如：z=xy有驻点(0,0)，但(0,0)不是极值点。2021/10/73问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2（充分条件）设函数z=f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，且fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，C=fyy(x0,y0)则：（1）当AC-B2<0时，没有极值；（2）当AC-B2>0时，具有极值；当A<0时，有极大值；当A>0时，有极小值；（3）当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论。证明：(略)2021/10/
3、74例4求函数的极值。解:1.求驻点(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2)；2.求相应的A,B,C；3.判断并求出极值。例5求由方程确定的函数z=f(x,y)的极值。解:1.利用隐方程组求偏导及必要条件zx=zy=0得驻点(1,-1)；2.带入原方程求得相应的z=-2,z=6；3.隐方程组再求偏导得A,B,C；4.判断并求出极值。注：偏导数不存在的点，也是极值可疑点。如：2021/10/752021/10/76求最值的一般方法：比较最值可疑点的函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。3.多元函数的最值f在有界闭域上连续f在有界闭域上可达到
4、最值依据驻点；偏导不存在的点；边界上的最值点。最值可疑点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,则f(P)就是最值。2021/10/77例6求函数z=x+y-x2–xy–y2在由直线x+y=1与x轴和y轴所围成的闭区域上的最大值与最小值。例7有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面积最大。解：则断面面积为设折起来的边长为xcm，倾角为,2021/10/78(2)－(1)2cos，得：2xcos－x=0解得:2021/10/79由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有唯一驻点,故此点即为所
5、求。例8求的最大值和最小值。解2021/10/710即边界上的值为零。4.条件极值拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制2021/10/711引例：小王有200元钱，他决定用来购买计算机磁盘x张和录音磁带y盒，设购买这两种商品的效用函数为U(x,y)=lnx+lny。每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元才能使其效用达到最大。解：目标函数：约束条件：条件极值问题一般地：D为z=f(x,y)的定义域。无条件极值：条件极值：D为z=f(x,y)的定义域。2021/10/712条件极值解法
6、：方法1：代入消元法。方法2拉格朗日乘数法：例如：求：（1）构造拉格朗日函数：（2）求拉格朗日函数F(x,y,)的无条件极值，得到条件极值的可疑点。2021/10/713拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形（1）构造拉格朗日函数：（2）求拉格朗日函数F(x,y,z,1,2)的无条件极值，得到条件极值的可疑点。拉格朗日乘数法推导（略）2021/10/714解:则例9将正数12分成三个正数x,y,z之和,使得U=x3y2z最大。解得唯一驻点(6,4,2)，故最大值为：2021/10/715解：2021/10/716该切平面在三个轴上的截距各为：2
7、021/10/717问题为：2021/10/718即当切点坐标为时，四面体的体积最小2021/10/719课外作业2021/10/720例6解分析:2021/10/721得2021/10/7222021/10/723已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大.解答提示:设C点坐标为(x,y),思考与练习则2021/10/724设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停2021/10/725备用题1.求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角
8、形各边所对
