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1、二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法第四章10/6/2021高等数学第二类换元法第一类换元法基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有10/6/2021高等数学一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例1.求解:令则故原式=注:当时机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例2.求解:令则想到公式机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例3.求想到解:(直接配元)机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数
2、学例4.求解:机动目录上页下页返回结束类似10/6/2021高等数学例5.求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例6.求解:原式=机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例7.求解:原式=例8.求解:原式=机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例9.求解法1解法2两法结果一样机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例10.求解法1机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学解法2同样可证或(P1
3、96例16)机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例11.求解:原式=机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例12.求解:机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例13.求解:∴原式=机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例14.求解:原式=机动目录上页下页返回结束分析:10/6/2021高等数学例15.求解:原式机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页
4、下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如10/6/2021高等数学思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学2.求提示:法1法2法3作业目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，10/6/2021高等数学定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则机动目录上页下页返回结束则有换元公式10/6/2021高等数学例16.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束1
5、0/6/2021高等数学例17.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例18.求解:令则∴原式机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学令于是机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考书上P201-P202)或或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式10/6/2021高等数学原式例19.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学小结:1.第二类换元法常见类型:令令
6、令或令或令或机动目录上页下页返回结束第四节讲10/6/2021高等数学机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(P203)(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令10/6/2021高等数学机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学解:原式(P203公式(20))机动目录上页下页返回结束例20.求例21.求解:(P203公式(23))10/6/2021高等数学例22.求解:原式=(P203公式(22))机动目录上页下页返回结束例23.求解:原式(P203公式(22))10/6/2021高等数学例24.求解:令得原式机动
7、目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学例25.求解:原式令例16例16目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学2.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学作业P2042(4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三节目录上页下页返回结束10/6/20
8、21高等数学备用题1.求下列积分:机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得机动目录上页下页返回结束10/6/2021高等数学分子分母同除以3.求不定积分解
