高等数学课件4-2积分换元法

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1、1$2换元积分问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法Integrationbythefirstkindofsubstitutiond(sin2x)=2cos2xdx上式不成立2$2换元积分在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理3$2换元积分第一类换元公式（凑微分法）说明Directions使用此公式的关键在于将化为定理Theorem14$2换元积分第一换元法的实质是：令====F(u)+c查表注1式无论u是自变量还是另一变量x的函数，都成立。TH1也称为积分形式不变性

2、。P231积分表中x均可换为u,仍成立。注2原来是统一记号，由TH1,可看成f(x)与dx相乘。5$2换元积分例example1（补充）解熟悉后可不设u可省略这两步6$2换元积分例Example2求解（一）解（二）解（三）7$2换元积分例Example3求解Solution一般地8$2换元积分例example4解例example5解一般地9$2换元积分例Example6求解10$2换元积分例Example7（补充）求解11$2换元积分例Example8求解公式（20）12$2换元积分例Example9

3、（补充）求解(20)13$2换元积分例Example10解公式（22）例Example11解公式（21）14$2换元积分例Example12（补充）解例Example13（补充）解115$2换元积分解2例Example1316$2换元积分例Example14（补充）求解17$2换元积分例Example15（补充）求原式解18$2换元积分例Example16解（16）例Example17（补充）类似可得（17）解119$2换元积分例Example17解2例Example18（补充）解(22)20$2换元

4、积分例Example19（补充）求解21$2换元积分例Example20求解说明Directions当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.22$2换元积分例Example21求解由23$2换元积分例Example22求解（一）（19）（19）24$2换元积分解（二）类似地可推出公式（19）（18）(21)25$2换元积分解例Example23(补充）令26$2换元积分例Example24(补充）求解27$2换元积分例Example25求解例Example26求（总习题四，4）（总习题四，6）

5、解28$2换元积分例Example27求（总习题四，3）解由（21）例Example28求（总习题四，9）解29$2换元积分（20）（22）（21）（16）（17）（19）（18）30$2换元积分问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法Integrationbythesecondkindofsubstitution31$2换元积分证Proof设为的原函数,令则则有换元公式定理Theorem232$2换元积分第二类积分换元公式33$2换元积分第二换元法的

6、实质是：查表两种换元法的关系：第一换元法（凑微法）（简化）==查表F(u)+c====查表==第二换元法（代换法）（繁化）34$2换元积分例29(P247)求解令（23）35$2换元积分例Example30(补充）求解令36$2换元积分例Example31(P248)求解令（24）被积函数定义域为37$2换元积分（24）38$2换元积分说明(1)Directions以上几例所使用的均为三角代换Trigonometricsubstitution三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令

7、可令可令39$2换元积分说明(2)Directions积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令解40$2换元积分积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例32(补充）求（三角代换很繁琐）令解41$2换元积分例33(补充)求解令42$2换元积分说明(4)当分母的阶较高时,可采用倒代换例34(补充）求令解43$2换元积分例35(补充）求解令（分母的阶较高）44$2换元积分45$2换元积分说明(5)当被积函数含有两

8、种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例36(补充）求解令46$2换元积分47$2换元积分(23)(22)例37(补充）例38(补充）48$2换元积分基本积分表49$2换元积分50$2换元积分三、小结Briefsummary两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)51$2换元积分思考题Considerationquestion求积分52$2换元积分思考题解答Solutiontoconsidera