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1、二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章8/13/2021同济高等数学课件第二类换元法第一类换元法基本思路设可导,则有8/13/2021同济高等数学课件一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)8/13/2021同济高等数学课件例1.求解:令则故原式=注:当时注意换回原变量8/13/2021同济高等数学课件例2.求解:令则想到公式8/13/2021同济高等数学课件例3.求想到解:(直接配元)8/13/2021同济高等数学课件例4.求解:类似8/13/2021同济高等数学课件例5.求解:∴原式=
2、8/13/2021同济高等数学课件常用的几种配元形式:万能凑幂法8/13/2021同济高等数学课件例6.求解:原式=8/13/2021同济高等数学课件例7.求解:原式=例8.求解:原式=8/13/2021同济高等数学课件例9.求解法1解法2两法结果一样8/13/2021同济高等数学课件例10.求解法18/13/2021同济高等数学课件解法2同样可证或(P199例18)8/13/2021同济高等数学课件例11.求解:原式=8/13/2021同济高等数学课件例12.求解:8/13/2021同济高等数学课件例13.求解:∴原式=8/
3、13/2021同济高等数学课件例14.求解:原式=分析:8/13/2021同济高等数学课件例15.求解:原式8/13/2021同济高等数学课件小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如8/13/2021同济高等数学课件思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?8/13/2021同济高等数学课件2.求提示:法1法2法3作业8/13/2021同济高等数学课件二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,
4、则得第二类换元积分法.难求，8/13/2021同济高等数学课件定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式8/13/2021同济高等数学课件例16.求解:令则∴原式8/13/2021同济高等数学课件例17.求解:令则∴原式8/13/2021同济高等数学课件例18.求解:令则∴原式8/13/2021同济高等数学课件令于是8/13/2021同济高等数学课件说明:1.被积函数含有除采用三角采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考P204~P205)或代换外,还可利用公式2.再补充两个常用双曲函数积分公式8/13/2
5、021同济高等数学课件原式例19.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.8/13/2021同济高等数学课件小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或第四节讲8/13/2021同济高等数学课件2.常用基本积分公式的补充(P205~P206)7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令8/13/2021同济高等数学课件8/13/2021同济高等数学课件解:原式(P206公式(20))例20.求例21.求解:(P206公式(23))8/13/2021同济高等数学课件例22.求解:原式=(P206公式(22))例23.求解:原
6、式(P206公式(22))8/13/2021同济高等数学课件例24.求解:令得原式8/13/2021同济高等数学课件例25.求解:原式令例16例168/13/2021同济高等数学课件思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令8/13/2021同济高等数学课件2.已知求解:两边求导,得则(代回原变量)8/13/2021同济高等数学课件P2072(4),(5),(9),(11),(12),(16),(20),(21),(23),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(38),(40),(4
7、2),(44)作业第三节8/13/2021同济高等数学课件备用题1.求下列积分:8/13/2021同济高等数学课件2.求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得8/13/2021同济高等数学课件分子分母同除以3.求不定积分解:令原式8/13/2021同济高等数学课件
