概 率 论35404

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1、备课教案第九章随机变量的数字特征第九章随机变量的数字特征分布律和概率密度描述了随机变量的全貌（完整性），但还可以用几个数字来说明随机变量的“概况”和某些方面的特征。在许多情况下只要知道概况已足够了，而且更加方便明了。例如：我们通常只需要了解全国人口的平均年龄，而并不需要编制（数万本）13亿人年龄的大表。§9．1数学期望一．数学期望的概念与计算公式例1某工人工作水平为：全天不出废品的日子占30%，出一个废品的日子占40%，出二个废品占20%，出三个废品占10%。（1）设X为一天中的废品数，求X的分布律；（

2、2）这个工人平均每天出几个废品？解（1）分布律～（2）考虑工作1000天，其中约300天不出废品，400天中各出一个，200天中出二个，100天中出三个，平均废品数=0×0.3+1×0.4+2×0.2+3×0.1=1.1（个/天）数学期望：即随机变量X取值的平均数（加权平均），记为E(X)（是一个实数，不是随机变量）。计算公式：离散型：分布律为P{X=xk}=pk(k=1,2,…)时即两两相乘再相加（无穷级数绝对收敛）。连续型：概率密度为f(x)时，以单点概率f(x)dx代替pk，去掉下标，和号改为积分

3、即有例2甲、乙两人废品数的分布如下。在产量相同时，哪个技术高？～，～.解分别比较四个废品数对应的概率，发现高低交错，甲乙两人各有优缺点.因此比较数学期望是最公平的，按公式（9.1）计算加权平均得＝0×0.35＋1×0.30＋2×0.15＋3×0.20＝1.20(件/天)；＝0×0.30＋1×0.35＋2×0.25＋3×0.10＝1.15(件/天).计算结果表明，乙出废品的平均值较小，所以乙的技术略高.从本例看出，数学期望是评价随机变量的一个重要指标，数学期望简称为期望或均值。21备课教案第九章随机变量的

4、数字特征二．常见分布的数学期望1．两点分布～2．二项分布X~，请先记住结论，推导见下面。3．泊松分布4．均匀分布~，5．指数分布（推导略）6、正态分布~，积分中运用了积分换元和对称性，最后的等号用到了概率积分。正态分布的前一个参数恰好是它的均值。三．数学期望的性质1．C为常数时，E(C)=C；2．E(CX)=CE(X)（常数提取）；3．E(X+Y)=E(X)+E(Y)；4．若X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)（请特别注意性质4中的前提条件——独立：X,Y的取值相互独立）。例3计算二项分布X~

5、B(n,p)的数学期望。解X是n次独立试验中A事件出现的次数。引入随机变量Xi是第i次试验中A出现的次数（取0或1），显然21备课教案第九章随机变量的数字特征这里Xi均服从两点分布，故这是数理统计中常用的方法，应熟悉这一方法。例4传染病患病率约为10%，对1000名师生抽血化验，采用二种方案（1）逐个化验；（2）4个人一组（分250组）抽血化验，有问题再逐个化验。试比较两个方案的化验次数。解方案（1）要化验1000次。方案（2）的次数是随机变量，设Xi表示第i组化验的次数(i=1,2,…,250)，则总

6、的化验次数X是所有Xi之和。显然Xi分布律相同均为P{Xi=1}=0.94，P{Xi=5}=1-0.94，则次。这里E(X)应理解为“期望次数”（样本大，期望可达）。四．随机变量函数的数学期望1、一维函数已知X的分布，求Y=g(X)的分布较困难（连续型要通过分布函数），但求E(Y)是否能简单些呢？（1）离散型：设X的分布为P{X=xk}=pk(k=1，2，…)，则Y=g(X)的分布律为P{Y=g(xk)}=pk于是这是E(X)计算公式的推广。（2）连续型：设X的密度为f(x)，在上述离散型计算公式中，将

7、pk换成单点概率f(x)dx，略去下标，和号改为积分，可得这也是E(X)计算公式的推广。例3，设X~U(0,a)，求Y=kX2(k>0)的数学期望。解：21备课教案第九章随机变量的数字特征§9．2方差一．方差的概念与计算公式例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50=72；Y：73，70，75，72，70=72。平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差是描述随机变量对于数学期望的偏离程度的数字特征。单个偏离是，消除符号影响。方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分

8、离散型和连续型，具体为：这里数学期望是一个数。推导另一种计算公式：得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即其中，，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差。方差描述波动程度，是刻画随机变量取值集散程度的数字特征，方差越大，取值越分散，方差越小，取值越集中。二．方差的性质1．设C为常数，则D(C)=0（常数无波动）；2．D(CX)=C2D(X)（常数平方提取）；证：特别地，，（即：方差无负值）3．若X、Y相互独立，则证：记，则前