理论力学7—刚体的平面运动

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1、刚体的平面运动在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。此处有影片播放MNS刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动。若作一平面N与平面M平行并以此去截割刚体得一平面图形S。可知该平面图形S始终在平面N内运动。7.1刚体平面运动的描述7.1刚体平面运动的描述而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平移。A1A2的运动可用其与图形S的交点A的运动来代替。无数的点A构成了平面S。因此，刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动。MNSA1A2A这就是刚体

2、的平面运动方程。SyxOMO'j平面图形S在其平面上的位置完全可由图形内任意线段O'M的位置来确定，而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点O'的位置和线段O'M与固定坐标轴Ox间的夹角j即可。点O'的坐标和角j都是时间t的函数，即刚体的平面运动方程SMO'yxOj如果O'位置不动，则平面图形此时绕轴O'做定轴转动；如果O'M方位不变，则平面图形做平移。因此刚体的平面运动包含了平移和定轴转动两种情况。运动分解但能不能说平移和定轴转动是刚体平面运动的特殊情况呢?不能！BAA'B'A"B"Δj'下图可进一步

3、说明运动的分解问题：运动分解Δj即平面运动可取任意基点而分解为平移和转动。平移的速度和加速度与基点的选择有关，而绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。因此以后无须标明绕哪一点转动。运动分解BAA'B'A"B"Δj'Δj虽然基点可任意选取，但在解决实际问题时，往往选取运动情况已知的点作为基点。A平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和，这就是平面运动的速度合成法或称基点法。7.2.1基点法已知点A的速度及平面图形转动的角速度，求点B的速度。7.2平面图形上各点的速度wv

4、BvAvBAvAB例7-1椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l=20cm，滑块A的速度vA=10cm/s，求连杆与水平夹角为30°时，滑块B和连杆中点M的速度。解:AB作平面运动，以A为基点，分析点B的速度。由图中几何关系得：方向如图所示。AvAvAvBvBABwAB30°M30°以A为基点，则M点的速度为将各矢量投影到坐标轴上得：解之得AvAvAvMABwAB30°MvMxya例7-2行星轮系机构如图。大齿轮I固定,半径为r1，行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动,半径为r2。系杆OA角速度为w0。求轮II的

5、角速度wII及其上B、C两点的速度。解:vAw0ODACBvAvDAwIIIII由于齿轮I固定不动,接触点D不滑动,显然vD＝0,vDA与vA应大小相等、方向相反,而vDA＝wII·r2。所以vAw0ODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A为基点,分析点B的速度。vBA与vA垂直且相等,点B的速度以A为基点,分析点C的速度vCA与vA方向一致且相等，点C的速度平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影(大小和方向)相等。这就是速度投影定理。7.2.2投影法由于vBA垂直于AB，因此[vBA]A

6、B=0。于是将两边同时向AB方向投影:ABwvBvAvBAvA7.2平面图形上各点的速度例7-3用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30°30°例7-4如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A、B、E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED，ED与水平线夹角等于30°。求此瞬时点E的速度。解：1、杆AB作平面运动2、杆CD作定轴转动3、杆DE作平面运动定理：一般情况下，在每一瞬时

7、，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。wS设有一个平面图形S角速度为w，图形上点A的速度为vA。在vA的垂线上取一点C(由vA到AC的转向与图形的转向一致)，有如果取AC＝vA/w，则NCvAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。vAA7.2.3求平面图形上各点速度的瞬心法图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。AvAvBBDvDwCwCC为速度瞬心确定速度瞬心位置的方法有下列四种：(1)平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动(纯

8、滚动)，图形与固定面的接触点就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时，接触点C就是图形的速度瞬心。vC(2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在两点速度垂线的交线上。wABCvAvBwOAB(3)已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。ABvBvACABvBvAC(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等