理论力学8—刚体的平面运动

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1、刚体的平面运动第八章在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。此处有影片播放8.1刚体平面运动概述和运动分解MNSA1A2A刚体上每一点都在与固定平面M平行的平面内运动。若作一平面N与平面M平行,并以此去截割刚体得一平面图形S。可知该平面图形S始终在平面N内运动。因而垂直于图形S的任一条直线A1A2必然作平动。A1A2的运动可用其与图形S的交点A的运动来替代。刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动。这就是平面图形的运动方程。SMO'yxO8.1刚体平面运动概述和运动分解j平面图形S在其平面上的位置完全可

2、由图形内任意线段O'M的位置来确定，而要确定此线段的位置，只需确定线段上任一点O'的位置和线段O'M与固定坐标轴Ox间的夹角j即可。点O'的坐标和j角都是时间的函数，即平面图形的运动方程可由两部分组成：一部分是平面图形按点O'的运动方程xO'=f1(t),yO'=f2(t)的平移，没有转动；另一部分是绕O'点转角为j=f3(t)的转动。8.1刚体平面运动概述和运动分解平面运动的这种分解也可以按上一章合成运动的观点加以解释。以沿直线轨道滚动的车轮为例，取车厢为动参考体，以轮心点O'为原点取动参考系O'x'y'，则车厢的平动是牵连运动，车轮绕平动参考系原点O'的

3、转动是相对运动，二者的合成就是车轮的平面运动(绝对运动)。单独轮子作平面运动时，可在轮心O'处固连一个平动参考系O'x'y'，同样可把轮子这种较为复杂的平面运动分解为平动和转动两种简单的运动。y'x'O'y'x'O'8.1刚体平面运动概述和运动分解对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O‘，称为基点。在这一点假想地安上一个平移参考系O’x‘y’；平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy。于是平面图形的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。y'x'O'yxOO'M平面图形内任一点的速度等于基点的速

4、度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和,这就是平面运动的速度合成法或称基点法。1.基点法已知O'点的速度及平面图形转动的角速度，求M点的速度。8.2求平面图形内各点速度的基点法wvMvO'vMO'vO'例1椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l=20cm，滑块A的速度vA=10cm/s，求连杆与水平方向夹角为30°时，滑块B和连杆中点M的速度。解:AB作平面运动，以A为基点，分析B点的速度。由图中几何关系得：方向如图所示。AvAvAvBvBABwAB30°M30°以A为基点，则M点的速度为将各矢量投影到坐标轴上得：解之得AvAvAvMABwAB30°MvMxya

5、例2行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为wO。求轮II的角速度wII及其上B，C两点的速度。解:行星齿轮II作平面运动，求得A点的速度为vAwOODACBvAvDAwIIIII以A为基点，分析两轮接触点D的速度。由于齿轮I固定不动，接触点D不滑动，显然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向与vA相反，vDA为点D相对基点A的速度，应有vDA＝wII·DA。所以vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A为基点，分析点B的速度。vBA与vA垂直且相等，点B的速

6、度以A为基点，分析点C的速度。vCA与vA方向一致且相等，点C的速度同一平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影相等。这就是速度投影定理。2.速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此[vBA]AB=0。于是将等式两边同时向AB方向投影:8.2求平面图形内各点速度的基点法ABwvBvAvBAvA例3用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30°定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。8.3求平面图形内各点速度的瞬心法wS设有一个平面图形S角速度为w，图形上点A的速度为vA，如图。在vA的垂线上取一点C(由vA到AC的

7、转向与图形的转向一致)，有如果取AC＝vA/w，则NCvAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。vAA图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。8.3求平面图形内各点速度的瞬心法CAwvAvBBDvDwC确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1)平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。8.3求平面图形内各点速度的瞬心法vC(2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。8.3求平

8、面图形内各点速度的瞬心法wABwOCvAABvB(3