储六春：解析几何定值学生

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1、探究解析几何中的定值、最值问题江苏省宜兴中学储六春椭圆、双曲线、抛物线的定义中都存在定点、定值问题，如到两个焦点的距离之和（之差的绝对值）等于定长、到定点的距离与到定直线的距离相等。其实在解析几何中有关定点和定值问题很多，在竞赛考试中也常出现，下面我们讨论一下几类定值问题：一．与解几中的特殊点有关的定值问题在解析几何中的一些特殊点，如焦点、顶点、准线与对称轴的交点等例1．已知椭圆，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，作的旁切圆，求证该圆与轴切于定值。如果椭圆换成双曲线又会给出怎样的命题呢？双曲线上的任一点P与两焦点连成的三

2、角形中，作其内切圆，则与双曲线的对称轴的切点A应是双曲线的顶点，若P点在左支上，则切点A应是左顶点，若点P在右支上，则点A应是右顶点。例2．已知椭圆，F是椭圆的右焦点，过F任作一直线交椭圆于A、B两点。问在轴的正半轴上是否存在一定点P，使。已知双曲线中，过双曲线的焦点作一直线与双曲线的同一支交于A、B两点，则在双曲线的对称轴上存在一定点P，使。此点是双曲线的准线与对称轴的交点。第6页例3．已知P为椭圆上的一点，A、B分别为椭圆的左、右顶点，直线是椭圆的准线，直线PA、PB分别交于M、N两点，求证：以MN为直径的圆过椭圆内的一定

3、点。引申：若分别为椭圆的两个焦点，求证：是一个定值。二．与解几中的特殊量有关的定值问题：例4．已知椭圆，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过作的外角平分线的垂线，垂足为M，求证：OM的长为定值。在双曲线中命题为已知双曲线，是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的任一点，过作的角平分线的垂线，垂足为M，求证：OM的长为定值。例5．已知椭圆，O为坐标原点，过O作两条互相垂直的射线OA、OB交椭圆于A、B两点。（1）求证：为定值；（2）求证：O到AB的距离为定值。第6页注：江苏08年数学竞赛预赛考了这样一题：已知双曲线，O为坐标原点

4、，过O作两条互相垂直的射线OA、OB交双曲线交于A、B两点。（1）求证：为定值；（2）求证：O到AB的距离为定值。例6．若M，N是椭圆C：上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为时，求证：为定值。提示：只要设点代入，可求得结论三．与其它问题有关的定值例7．如图，点A是椭圆的上顶点，过点A的直线分别交椭圆于B、C两点，当变化时，求证：（1）直线BC的斜率小于；（2）直线BC经过轴上的一个定点。第6页例8．已知椭圆的左、右两个顶点分别为A，B，直线与椭圆相交于M、N两点。（1）求经过三点A

5、、M、N的圆C的方程；（2）设过B、M、N的圆为圆C，求证：无论如何变化，圆C与圆C的圆心距为定值；四．解析几何中的最值例9．椭圆的左、右两个焦点分别为，点A是椭圆的下顶点，过作垂直于轴的直线交椭圆于M、N两点，（M位于第一象限），用表示直线AM的斜率（其它类似记号意义相同），记。（1）求证：；（2）求的最小值以及取得最小值时椭圆的离心率；（3）是否存在这样的椭圆，使，如果存在，求出椭圆的离心率，如果不存在，说明理由。例10．（08年全国联赛）如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．第6页例11．（01年全

6、国联赛）设曲线C1：（a为正常数）与C2：y2=2（x+m）在x轴上方仅有一个公共点P．⑴求实数m的取值范围（用a表示）；⑵O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0

7、已知抛物线与直线，点在直线上移动。过P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B，线段AB的中点为M。（1）求点M的轨迹；（2）求AB的最小值。4．在平面上给定不共线的三点A、B、C，以线段AB为一条轴（长轴或短轴）作一个不经过C点的椭圆，与另两条边AC、BC分别交于E、F，过E、F分别作椭圆的切线，设这两条切线交于；类似地，再以线段BC、CA为一条轴各作椭圆，分别相应地得到切线的交点，证明：不论每一个椭圆的另一条轴的长度如何选择，三条直线AA、BB、CC都经过一个定点。第6页