3.4圆周角和圆心角的关系1

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1、圆周角和圆心角的关系教学目标(一)教学知识点1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角定理的证明．(二)能力训练要求经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．(三)情感与价值观要求通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．教学重点圆周角概念及圆周角定理．教学难点认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．教学方法指导探索法．教具准备投影片两张第一张：射门游戏(记作§3．3．1A)第二张：补充练习1(记作§3．3．1B)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学

2、们画一个圆心角．[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？Ⅱ．讲授新课1．圆周角的概念[师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片3．3．1A)这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关．[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)圆周角(angleinacircularse

3、gment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．[师]请同学们考虑两个问题：(1)顶点在圆上的角是圆周角吗？(2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？请同学们画图回答上述问题．[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．补充练习1(出示投影片§3．3．1B)判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．答：由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是．3．研究圆周角和圆心角的关系．[师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别

4、形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？[师]请同学们动手画出⊙O中所对的圆心角和圆周角．观察所对的圆周角有几个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？[生]所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知：所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．[生]互相讨论、交流，寻找解题途径．[师生共析]能否考虑从

5、特殊情况入手试一下．圆周角一边经过圆心．由下图可知，显然∠ABC＝∠AOC，结论成立．(学生口述，教师板书)如上图，已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝AOC．证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝∠AOC．[师]如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？(学生互相交流、讨论)[生甲]如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况

6、的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．[生乙]在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝∠AOD，∠CBD＝∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝∠AOC．[师]还会有其他情况吗？请思考．[生]不会有．[师]经过刚才我们一起探讨，得到了什么结论？[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．[师]这一结论称为圆周角定理．在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中

7、，我们学到了什么方法？[生]由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法，……[师]好，同学们总结得很好．由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略．今后我们在处理问题时，注意运用．4．课本P103，随堂练习1、2Ⅲ．课时小结[师]到目前为止，我们学习到和圆有关系的角有几个？它们各有什么特点？相互之间有什么关系？[生]和圆有关系的角有圆心角和圆周角．圆心角顶点在圆心，圆周角顶点