空间角的向量求法

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1、《关注空间角的向量求法》发表在《学习报》2010-2011第16期总第1128期第2版2010年10月15日国内统一刊号CN14-00708/(F)邮发代码：21-79空间角的向量求法特级教师王新敞两条异面直线所成的角的范围是；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角直线垂直于平面，所成的角是直角直线平行于平面或在平面内，所成角为0°角．直线和平面所成角范围为[0，]平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平

2、面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做二面角的平面角二面角的平面角范围是．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线所成的角：；⑵直线与平面(法向量)所成的角：；⑶锐二面角：，其中为两个面的法向量．例1直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是__________．分析：用向量法求异面直线所成的角，是建立适当的空间直角坐标系，求出两条异面直线各自的方向向量，把异面直线所成角

3、的求解转化为向量运算．解：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1则A（－1,0,0），F1（－,0,1），B（0,－1,0），D1（－,－,1）即=（,0,1），=（－,,1）∴cos<,>=.∴BD1与AF1所成角的余弦值是．例2在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角的正弦值．分析:求线面角的向量法是建立适当的空间直角坐标系，求出直线的一个方向向量和平面的一个法向量，把线面角的求解转化为向量运算．解：如图建立以三角形BCD的中心O为原点，,OD,OA依次为y轴，z轴．X轴平行于BC．设正四面体ABCD的棱长

4、为，则．∴∵E为AD的中点，∴∴又因为平面BCD的法向量为，∴即CE与平面BCD成的角满足：．∴直线CE与平面BCD成的角的正弦值．例3如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E为D1C1的中点，求二面角E—BD—C的正切值．分析:求二面角的向量法是建立适当的空间直角坐标系，分别求出两个平面的一个法向量，把二面角的求解转化为向量运算．解：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面DBE的方程为：（过原点D=0）则∴平面DBE的一个法向量为又因为平面BCD的一个法向量为二面角

5、E—BD—C的余弦值为：∴．即二面角E—BD—C的正切值．空间角的求解向量法是把求角的问题转化为求两向量的夹角．这里平面的法向量常用待定系数法求解，平面的法向量是关键．