高等数学期中测验卷

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1、《高等数学》期中测验卷（适用班级060715、060716）（适用时间1小时）班级---------------学号--------------姓名--------------成绩-------------一、填空（每题3分，共6分）1．函数的单调下降区间为2．2.函数的阶麦克劳林展开式为二、求下列极限（每题8分，共32分）3.解原式--------------------4．解：原式5．4解：原式=.6.解原式三、求下列导数和微分（每题8分，共32分）7．设，求。解：=8.设，求。解：两边取对数得，两边求导，故有.9．函数由确定,

2、求4解:方程两边分别对x求导，得到：，从而..10．设求、解=.四、讨论题（12分）11．设，讨论在上的连续性。若在某点处不连续，说明是哪类间断点，若可去，则补充（改变）定义，使其在该点连续。解：在和上是初等函数，因此和上连续。在点处，由于但故是第一类间断点中的可去间断点。改变定义则在（0，2）上连续。五、证明题12．用“”语言证明（6分）证：任取要使只要4取则当时，恒有即13．设证明方程只有2个实根。（12分）证明：不妨设由于是一个三次函数，故在上连续，在内可导，且易知由Rolle中值定理得：使------------------

3、----------------------------------------------------------当时，类似可得使-另一方面，由于是一个二次函数，故至多有两个实根。于是方程只有2个实根。---------------------------------------------------附加题：设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使.证：令，因为在上连续，且，，则由零点存在定理在内至少存在一点，使，即.下证唯一性。设在内存在两个点与，且，使，.由于在上可导，故在上连续，在上可导，运用罗尔中值

4、定理，则存在，使得.这与题设矛盾。故在内，有且仅有一个使。4