高考大一轮总复习5.1平面向量的概念及线性运算

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1、第五章　平面向量§5.1　平面向量的概念及线性运算考纲展示►　1.了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．考点1　平面向量的有关概念　　向量的有关概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________．(2)零向量：长度为________的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于________的向量．(4)平行向量：方向相同

2、或________的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向________的向量．(6)相反向量：长度相等且方向________的向量．答案：(1)方向　模　(2)0　(3)1个单位　(4)相反　(5)相同　(6)相反向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量．(1)若四边形ABCD满足＝，则四边形ABCD的形状是__________．答案：平行四边形解析：＝表示AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．(2)若四边形ABCD满足＝k(k>0，k≠1)，则四边形ABCD的形状是__________．答案：梯形解析：

3、＝k(k>0，k≠1)表示AD∥BC，但AD与BC不相等，所以四边形ABCD是梯形.[典题1]　(1)给出下列命题：①若

4、a

5、＝

6、b

7、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是(　　)A．②③B．②④C．③④D．②③④[答案]　A[解析]　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴

8、

9、＝

10、

11、且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；15反之，若四边形ABCD为平行四边形，则

12、

13、＝

14、

15、

16、，∥且，方向相同．因此＝.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当b＝0时，a，c可能不平行．综上所述，正确命题的序号是②③.(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4[答案]　C[解析]　①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点；②正确．因为向量既有大小，又有方

17、向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．[点石成金]　1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．4．非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．考点2　向量的线性运算　　　　　　　　　　　　　　　　向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝________；结

18、合律：(a＋b)＋c＝a＋(________)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(________)数乘求实数λ与向量a

19、λa

20、＝

21、λ

22、

23、a

24、，当λ＞0时，λa与aλ(μa)＝15的积的运算的方向________；当λ＜0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0(______)a；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________答案：b＋a　b＋c　－b　相同　相反　λμ　λa＋μa　λa＋λb(1)[教材习题改编]向量和式(＋)＋(＋)＋化简后等于__________．答案：解析：原式＝＋＋＋＋＝.(2)[教材习题改编]已知三

25、角形ABC，用与表示BC边上的中线向量，则＝________.答案：＋[典题2]　(1)[2017·广东惠州高三二模]如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　　)A.－B.＋C.＋D.－[答案]　D[解析]　在△CEF中，有＝＋.因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.(2)[2017·辽宁沈阳模拟]已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)A．2B．3C．4D．5[答案]　B15[解析]　由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，