知识拓展：圆周率的趣闻

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1、圆周率π的趣闻　　在日常生活中，人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是π。　　当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。”　中华民族历史上对圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。　　根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的

2、算书《周髀算经》(公元前2世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有3.1547，3.1992，3.1498，3.2031等几个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元78-139年)认为π==3.1623，比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早500年。　　三国魏景元四年(公元263年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时，提出了“割圆术”。他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个

3、算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了π的近似值为3.14。他还特别声明：“此率尚微少”，意思是这只是π的不足近似值。　　刘徽对π的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把π=3.14这个数值叫做“徽率”。　　到了南北朝，伟大的数学家祖冲之(公元426-500年)对π的推算，达到了空前的高峰，他算出3.1415926＜π＜3.1415927。　　在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人，后人称之为“祖率”。　　“祖率”这个纪录

4、保持了近一千年，后才被16世纪的阿尔卡西(Al——Kashi)打破。祖冲之还同时得出了π的分数形式的近似值：约率是，密度是。这两个分数，是分母小于7和113的一切分数中，最接近π值的最佳分数，德国人奥托(ValentiusOtto)在1573年才获得这个值。　　在现在，利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位了。　　π是一个什么样的数呢？　　π是一个无限不循环的小数。也就是说，π是一个无理数。　　法国数学家勒让德(Legendre，1752-1833)曾猜测说：“π不是有理系数方程的根”。后来，人们把

5、有理系数方程的根称为代数数，不是代数数的叫做超越数。这样，所有的有理数和一部分无理数是代数数。勒让德的猜测实际上说π是一个超越数。　　在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数，例如π和e是超越数，在历史上是一件十分困难的事情。　　e=2.718…，也是一个无理数，常用来作为对数的底数，这种对数称为自然对数。1873年，法国数学家埃尔米特(Hermite，1822-1901)给出了e是超越数的证明，但他认为证明π的超越性更为困难。他在给友人的信中写道：“我不敢试着证明

6、π的超越性。如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了。但请相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。”1882年，英国数学家林德曼(F.Lindemann，1852-1939)证明了π是超越的，从而解决了一些几何作图问题。　　π=3.1415926…又是一个神秘的数字。　　有人发现，π的前1位小数、前3位小数、前7位小数和分别是前1个自然数、前3个自然数、前7个自然数之和。　　1=1；　　1+4+1=1+2+3=6　　1+4+1+5+9+2+6=1+2+3+4+5+6+7=28

7、。　　这真是惊人的巧合！　　π的前6个有效数字314159是一个素数，也是一个逆素数(倒过来读951413也是一个素数)。314159的补数是796951(互为补数是指两个数的对应数位上的数字之和等于10)，它也是一个素数！　　有趣的是，把前6个有效数字分成三个两位数：31、41、59，这三个数都是孪生素数中的一个(孪生素数是指相差为2的两个素数)：29与31，41与43，59与61是三对孪生素数。　　深入研究，还会发现一些奇特的现象。例如，π的小数点后从13位数字开始，连续的十八个数字具有相当的对称性：

8、其中79，32，38是关于26对称的。　　79，32，38这三个数的所有数字之和7+9+3+2+3+8=32.32是一个很特殊的数，一系列现象可以与它联系起来：水在华氏32°结冰，水晶体分32类，人的牙齿有32颗，32个电子可充满原子的第四级轨道，基本粒子有32种长命粒子，……　　这又是惊人的巧合！　　更有趣的是，π的小数点后一百个数字：π=3.1415926535897932384626433832795028841971