多种方法解二元一次方程

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1、16-17下学期七年级数学期末专题复习和训练一:解一次方程组班级：姓名：专题透析：初中数学中的一次方程组包括二元一次方程组和三元一次方程组，其中主要掌握二元一次方程，人教版的三元一次方程组属选学内容；一次方程组在解决初中各类数学问题和实际问题有着广泛的应用，甚至物理和化学科经常也常要列方程或方程组来解决问题比较容易些.解一次方程组的基本思想是“消元”，从“多元”一步一步的转化为“一元”来使问题获得解决；“消元”思想所派生出的“代入消元法”（简称“代入法”）和“加减消元法”（简称“加减法”）是两种基本解法，当然还有一些其它特殊的解法，只要我们紧

2、紧抓住“消元”这个根本，不管用什么方法都行.一次方程组容易与其它数学知识点串联构成一定“含金量”的综合题，是统考和中考的的高频考点.下面就解法进行说明，并配有典例解析、点评、归纳和追踪训练：方法1.代入法：代入法的基本步骤是整理→变形（用一个未知数表示另一个未知数）→代入（代入另一个方程消元）→求解→检验→写解.例1.解方程组：分析：由于方程①的未知数项的系数分别为，将方程①变形后代入方程②来求解.略解：由①得：把③代入②得：把代入③解得：故原方程组的解为例2.解方程组：分析：由于方程②的未知数项的系数分别为，将方程②变形后分别代入方程①和③

3、后组成二元一次方程组后进一步求解.略解：由②得：把④代入①得：，即⑤把④代入③得：，即⑥把④和⑤联立成方程组为：，解得：把代入④解得：故原方程组的解为点评：代入法的“变形”要注意两点：其一.选择好变形的方程，首先考虑未知数系数含或常数项为0的方程来变形；其二.用含一个未知数的式子来表示另一个未知数要特别留心符号和除以系数的计算和化简.代入法的“代入”须代入另外的方程未作为消元变形的方程才能将“三元”→“二元”→“一元”方程.代入法的“检验”虽然不要求书面写出来，但一定要养成检验的良好习惯，以确保解答的正确性.代入法的拓展：拓展1.整体代入消元

4、法.比如：.抓住，把视为一个整体，将方程①变形为整体代入②得：，然后再进一步求解.此法可类推！拓展2.利用等式性质得出简化后的同解方程再用代入消元.比如：.抓住系数的特殊性利用等式性质把方程①+②同解变形为,然后化简为，然后变形代入原方程组消元求解.追踪练习：1.已知二元一次方程.⑴.用含的代数式表示为；⑵.用含的代数式表示为.2.已知方程组得到与的关系式为.3.已知方程组，如果用代入消元法解方程组，选择（填方程番号）变形，并且用含未知数的式子表示未知数更好.4.已知二元一次方程，求式子的值为.5.用代入消元法解下列方程组：⑴.；⑵.；⑶.；

5、⑷..6.若方程组的解的值相等，求的值.方法2.加减法：加减法的基本步骤是整理→变形（使对应的未知数项的系数的绝对值相等）→加减（系数互为相反数用加法消元，系数相等用减法消元）→求解→检验→写解.例1.解方程组：分析：由于方程组中不存在直接进行加减消元的未知数项，但我们发现方程②的“”项的系数是方程①的“”的系数整数倍（2倍），将方程①×2得到方程可以与方程②进行减法消元，从而使问题得以解决.略解：由①×2得：③由③-②得：把代入①解得：故原方程组的解为例2.解方程组：分析：将方程组整理成一般形式，由于此方程组不存在直接进行加减消元的未知数项

6、；若我们选择含“”的未知数项进行消元，找出最小公倍数将方程③和方程④同时变形使“”未知数项系数绝对值相等，然后用加减消元法进行解答.由于本题整理后方程组的两个方程的未知数项系数的数字上来看具有“交叉对称性”，还可以利用等式的性质直接加减得出的同解方程组成方程组来解答比较简单.下面我们共同来赏析.略解：将方程组整理成一般形式由③+④得：⑤由③-④得：⑥由⑤+⑥得：，解得：.由⑤-⑥得：，解得：.故原方程组的解为例3.解方程组：分析：三个方程都含有3个未知数的三元一次方程组，一般采用加减法更好些；将3个方程两两组合取两组，通过加减消元同一个未知数

7、后组成一个二元一次方程组求解.本题由于未知数均为或者，所以①③组合。②③组合进行加法消元.略解：由①+②得：④由①+③得：⑤由⑤×2-④得:解得：把代入⑤得：解得：把代入③得：解得：故原方程组的解为.加减法的拓展：整体加减消元法.例.解方程组：分析：本方程组中用常规的加减方法来解也不算繁琐.由于本方程组每个方程都是二元一次方程，且未知数的系数都是1，所里我们可以利用等式的性质将3个方程相加计算出的的值，然后再整体消元求解更简单.略解：由①+②+③得：，即④由④-①得：，由④-②得：，由④-③得：.故原方程组的解为.点评：加减法解方程组若需要“

8、变形”后再加减，也要注意两点：其一.选择变形的方程，首先考虑两个方程的系数成整数倍关系的对应未知数项来切入，然后将其中一个方程变形；其二.方程在进行变形时每一项都不