一次函数的性质与图象

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时间:2019-06-14

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1、教学分析     一次函数是全面介绍函数的开始.由于学生对一次函数已经有了认识基础,学起来会比较顺利.因此,在实际教学中可以适度综合和抽象,提出一些带有思考性质的综合性问题.三维目标     1.理解掌握一次函数的概念、图象和性质,提高学生分析问题的能力,培养数形结合的思想.2.能够解决与一次函数有关的问题,提高学生解决问题的能力.重点难点     教学重点:一次函数的性质与图象.教学难点:一次函数的性质的应用.课时安排     1课时导入新课     思路1.观察下列函数有什么共同特点:①y=2x-1;②y=3x+6;③y=x;

2、④y=-x+1.学生回答后,教师指出本节课题.思路2.前面我们已经学习了函数的性质:定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性等.从本节开始,我们讨论具体的函数,首先讨论的是一次函数.推进新课     ①回顾一次函数的定义.②一次函数的图象是什么形状?③一次函数解析式y=kx+b(k≠0)中字母k和b具有什么意义?④如下图所示,直线y=kx+b上有两点P(x1,y1)、Q(x2,y2).试写出自变量的改变量Δx和函数值的改变量Δy.讨论结果:①形如函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数.它的定义域为R,值域为R.②一次函数的图象是直线,

3、以后简写为直线y=kx+b.因此一次函数又称为线性函数.③k叫做直线y=kx+b的斜率,b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.④Δx=x2-x1,Δy=y2-y1.⑤由于点P(x1,y1)、Q(x2,y2)在直线y=kx+b上,则y1=kx1+b,y2=kx2+b,两式相减,得y2-y1=k(x2-x1),==k或Δy=kΔx(x2≠x1).这就是说它的平均变化率为常数k,即对任意点x1,相应函数值的改变量与自变量的改变量成正比.[来源:学科网ZXXK]讨论结果:①如下图所示.②都是上升的.③k>0.④当k>0时,一次函数y=kx

4、+b在R上是增函数.证明如下:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=kx1-kx2=k(x1-x2),∵x1<x2,k>0,∴k(x1-x2)<0.∴f(x1)<f(x2).∴当k>0时,一次函数y=kx+b在R上是增函数.⑤当k<0时,一次函数y=kx+b在R上是减函数.证明如下:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=kx1-kx2=k(x1-x2),∵x1<x2,k<0,∴k(x1-x2)>0.∴f(x1)>f(x2).∴当k<0时,一次函数y=kx+b在R上

5、是减函数.讨论结果:①当b=0时,一次函数y=kx+b的图象关于原点对称;当b≠0时,一次函数y=kx+b的图象关于原点和y轴均不对称.因此得:当b=0时,一次函数变为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,它既不是奇函数,也不是偶函数.②直线y=kx+b与x轴的交点为(-,0),与y轴的交点为(0,b).③一次函数y=kx+b,定义域:R.值域:R.单调性:当k>0时,一次函数y=kx+b在R上是增函数;当k<0时,一次函数y=kx+b在R上是减函数.奇偶性:当b=0时,一次函数变为正比例函数,是奇函数;当b≠0时,它既不是奇函数,也

6、不是偶函数.[来源:Zxxk.Com]图象:形状是直线,与x轴的交点为(-,0),与y轴的交点为(0,b).思路1例1指出下列函数中的一次函数:(1)y=-x;(2)y=;(3)y=9x-2;(4)y=x2+1.解:根据一次函数的定义可知仅有(1)和(3)是一次函数.点评:判断一次函数要紧扣其定义,只有解析式符合形式y=kx+b(k≠0)才是一次函数.[来源:学§科§网Z§X§X§K]变式训练本节练习A1.例2求函数y=-5x-1,x∈[1,4]的最小值.解:∵k=-5<0,∴函数y=-5x-1在R上是减函数.∴函数y=-5x-1

7、,x∈[1,4]的最小值是f(4)=-21.点评:通常利用单调性求一次函数的最值.变式训练 已知函数y=2x+b在区间[-1,3]上的最大值是7,求实数b的值.答案:1思路2例1如下图所示,已知三个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2,y=k3x+b3的图象,试分别按从小到大的顺序排列:(1)k1,k2,k3;(2)b1,b2,b3.解:(1)k1,k2,k3分别是三条直线的斜率,由于直线y=k2x+b2和y=k3x+b3是上升的,则0<k3<k2,由于直线y=k1x+b1是下降的,则k1<0,所以k1<k3<k2.(2)b

8、1,b2,b3分别是三条直线在y轴上的截距,观察图可得b3<b1<b2.点评:本题主要考查一次函数解析式y=kx+b(k≠0)中k和b的几何意义,k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距.变式训练1.某人从家到单位,由于怕迟到,开始跑步,等跑累了再走

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