线代课件§5二次型及其标准形

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时间:2019-06-15

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1、§5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、合同矩阵四、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念称为二次型.例如都为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式).例如为二次型的标准形.称为二次型的规范形.例如为二次型的规范形.1.用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2.用矩阵表示在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样,二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系.二次型的矩阵及秩解例2三、合同矩阵四、化二次型为标准形对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求可逆的线性变

2、换,将二次型化为标准形.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解step1.写出对应的二次型矩阵,并求其特征值例3从而得特征值step2.求特征向量step3.将特征向量正交化得正交向量组step4.将正交向量组单位化,得正交矩阵P于是所求正交变换为说明五、小结实二次型的化简问题,在理论和实际中经常遇到,通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系,将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵,而这是已经解决了的问题,请同学们注意这种研究问题的思想方法.2. 实二次型的化简,并不局限于使用正交矩阵,根据二次型本身的特点,可以找到某种运算更快的可逆变换.下一节,我们将介绍另一种方法—拉

3、格朗日配方法.化为标准型,并指出表示何种二次曲面.求一正交变换,将二次型思考题思考题解答

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