Spheric geometry球面几何

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1、Sphericgeometry（球面几何）是几何学的一门分科。研究球面上图形的几何学。是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起来的，其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角”。　　球面几何学是在二维的球面表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子。　　在平面几何中，基本的观念是点和线。在球面上，点的观念和定义依旧不变，但线不再是“直线”，而是两点之间最短的距离，称为最短线。在球面上，最短线是大圆的弧，所以平面几何中的线在球面几何中被大圆所取代。同样的，在球面几何中的角被定义在两个大圆之间。结果是球面三角学和平常的三角学有诸多不同之处。例如：球面三角形的内角合大于180°

2、。　　对比于通过一个点至少有两条平行线，甚至无穷多条平行线的双曲面几何学，通过特定的点没有平行线的球面几何学是椭圆几何学中最简单的模式。　　球面几何学在航海学和天文学都有实际且重要的用途。　　球面几何学的重要关键在塑造真实投影平面，通过辨认在球面上获得正相反的对跖点(分列在边的两侧相对的点)。在当地，投影平面具有球面几何所有的特性，但有不同的总体特性，特别是他是无定向的。　　球面乃是空间中最完美匀称的曲面。两个半径相等的球面可以用一个平移把它们叠合起来，而两个半径不相等的球面所相差者就是放大或缩小这种相似变换，由此可见本质性的球面几何可以归纳到单位半径的球面来研讨。再者，在

3、古典天文学的研讨中，观察星星的方向可以用单位球面上的一个点来标记它，而两个方向之间的角度（亦即方向差）则相应于单位球面上两点之间的球面距离(sphericaldistance)。　　这也就是为什么古希腊天文学和几何学总是合为一体的，而且古希腊的几何学家对于球面三角学(sphericaltrigonometry)的投入程度要远远超过他们对于平面测量学的兴趣，因为「量天的学问」才是他们所致力去理解者；它的确比丈量土地、计量财产等更引人入胜。从现代的观点来看，球面几何乃是空间几何中蕴含在正交子群的部分，而向量几何则是空间几何中蕴含在平移子群的部分，而且两者又密切相关、相辅相成，例

4、如向量运算都是正交协变的(orthogonalcovariant)，所以向量代数又是研讨球面几何的简明有力的利器。七、球面幾何和球面三角學項武義§單位球面的基本性質§球面三角學  球面乃是空間中最完美勻稱的曲面。兩個半徑相等的球面可以用一個平移把它們疊合起來，而兩個半徑不相等的球面所相差者就是放大或縮小這種相似變換，由此可見本質性的球面幾何可以歸納到單位半徑的球面來研討。再者，在古典天文學的研討中，觀察星星的方向可以用單位球面上的一個點來標記它，而兩個方向之間的角度（亦即方向差）則相應于單位球面上兩點之間的球面距離(sphericaldistance)。這也就是為什麼古希臘

5、天文學和幾何學總是合為一體的，而且古希臘的幾何學家對于球面三角學(sphericaltrigonometry)的投入程度要遠遠超過他們對于平面測量學的興趣，因為「量天的學問」才是他們所致力去理解者；它的確比丈量土地、計量財產等更引人入勝，是不？從現代的觀點來看，球面幾何乃是空間幾何中蘊含在正交子群的部分，而向量幾何則是空間幾何中蘊含在平移子群的部分，而且兩者又密切相關、相輔相成，例如向量運算都是正交協變的(orthogonalcovariant)，所以向量代數又是研討球面幾何的簡明有力的利器。單位球面的基本性質設O為球面的心，而單位球面S2(1)則是空間中所有和O點的距離為

6、1的點所成的點集，即：它是以O為其定點的正交子群的一個軌道(orbit)。(i)反射對稱性：設Π是一個過球心O點的平面，則顯然有保持O點不動。由的保長性可見它把和O點相距為1的點變換成和O點相距為1之點，所以。再者，在S2(1)上的定點子集就是這一個大圓(greatcircle)，我們將把限制在S2(1)上的變換叫做以大圓為定點子集的球面反射對稱。(ii)旋轉對稱性：設是一條過球心O點的直線，它和球面S2(1)的交點是球面上的兩個互為對頂的點A,A'（一如南、北兩極）；換言之，球面上兩點A,A'互為對頂(antipodal)的條件是以球心為其中點。在空間以為軸的旋轉之下，球

7、心是固定不動的；同理可見S2(1)也是它的一個不變子集，而它限制在球面上的變換乃是一個以對頂點{A,A'}為其定點子集的球面旋轉對稱（如日常地球所作者就是一個以南北極為其定點子集的旋轉）。球面極坐標：設{N,S}是單位球面上給定的兩個互相對頂之點，在以{N,S}為定點子集的球面旋轉之下，每點的「緯度」保持不變，而其「經度」則隨著轉角而增加，如[圖7-1]所示。設P是球面上相異于兩個極點者，令是過P點的那條經線(longitudearc)，是選定的基準經線。設r為N到P的球面距離，亦即這一段「經弧」的弧長，θ是轉到的