13.4+课题学习--最短路径问题+(1)

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1、八年级上册13.4课题学习最短路径问题学习目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．课件说明问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象

2、为数学问题吗？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al旧知复习连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称“垂线段最短”。两点的所有连线中，线段最短简称“两点之间线段最短”作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=A

3、C+B′C=AB′，且AC′+BC′=AC′+B′C′．你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．·若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′问题：证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？当堂练习1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，

4、现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD水泵站修在什么地方？如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？张村李庄AB应用新知水泵站修在什么地方？如图所示，水泵站修在C点可使所用的水管最短.如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短？张村李庄ABA’C应用新知POAB如图，在边OA上找一点M，在OB上找一点N.连接MP、MN、PN.使三角形MNP周长最小例：如图，一艘旅游船从大桥AB的P处前往河对岸B

5、C处接游客，再回到Q处。ABCP（1）请画出旅游船的最短路径；（2）在（1）的条件下，若船需要再回到P点处，请画出旅游船的最短路径QDP'运用新知练习　如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥BACPQEP’POAB如图，在边OA上找一点M，在OB上找一点N.使四边形MNQP周长最小Q拓展延伸如图EFGH是矩形的台球桌面，有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹后再击中B球？ABEFGHP拓展延伸如图EFGH是矩形的台球桌面，

6、有两球分别位于A、B两点的位置，试问怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台边EF反弹碰撞台边EH后再击中B球？ABEFGH课堂小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．B·lA·B′C2.如图，在Rt△ABC中∠a=30°,∠c=90°,且BC=1,MN为AC的垂直平分线，设P点为直线MN上任意一点，PB+PC最小值为。ABCMPN23.如图△AOB内有一点P，且点P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点，P1,P2交OA于点M,交

7、OB于N,若P1,P2=5CM,则△PMN的周长是（）A.3CMB.4CMC.5CMD.6CMABCMPNP1P2C如图，在边L上找一点P，使PA-PB最大?ABL如图，在边L上找一点P，使PA-PB最大?ABL如图，在边L上找一点P，使PA+PB最大呢?