奥数知识点汇总(初一)

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1、奥数知识点汇总（初一）第一章整数一、整数的几种表示方法：选择适当的方法表示一个整数，是解决整数问题的基本方法之一。它是解决整数问题的前提。1、整数的多项式表示法：任何一个十进制的正整数N都可表示为：，这里、、……、、各取于0——9这十个数字中的任何一个。如果N是一个n+1位正整数，则≠0。为了方便，也可将N简记作。这种表示法称为整数的多项式表示法。整数最左边的一位数字叫做整数N的首位数字，最右边的一位数字叫做整数N的末位数字。2、整数的质因数连乘积表示法：（1）算术基本定理——每一个大于1的整数都能分解成质因数的乘积的形式，并且如果

2、把质因数按照由小到大的顺序排在一起（相同因数的积写成幂的形式），那么这种分解方法是唯一的。这就是说，任何一个整数N（N＞1），都能唯一地表示成下面的形式：其中，，……为自然数，为质数，并且＜＜……＜。这种表示法称为整数的质因数连乘积表示法，又称为整数N的标准分解式。（2）约数个数定理——一个整数N（N＞1），如果它的标准分解式为,那么它的约数个数为（1＋）（1＋）……（1＋）。另外，如果一个正整数N的约数个数是奇数，那么这个正整数N是完全平方数。3、整数的带余式表示法：如果整数a除以正整数m所得的商是q，余数是r，那么a＝mq+r，

3、其中q、r都为整数，并且0≤r≤m－1。这种表示法称为整数的带余式表示法。如果整数a、b分别除以正整数m所得得余数都是r，即a=mp+r，b＝mq+r(p、q为整数)，那么称a，b对于模m同余，记作a≡b(modm)。容易推知对于模m而言，与a同余的一切整数可以表示为mt+r(t为整数)，这里r＝0，1，……，m－1。把所有这样的整数作为一类，称为以m为模的一个同余类。一般地，对于模m而言，应当有m个同余类存在，可分别表示为：mt,mt+1,mt+2,……，mt+(m－1)（t为整数）。11任何一个整数必定属于并且也仅属于其中一个同

4、余类。这样一切整数就可以按照模m进行同余分类，把无数个整数分成有限个同余类，为我们解决问题带来方便。特别地，按模2分类，就得奇数与偶数两类；例如按模3分类，就有三个同余类：3t,3t+1,3t+2（t为整数）。有时将3t+2写成3t－1。二、数的整除特性：任意两个整数相加、减、乘的结果都是整数，但两个整数相除，它们的商就不一定是整数了，也就是说，整数对加、减、乘的运算是封闭的，而对于除法并不是封闭的。这样就出现了整除与余数的两个概念。1、整除的定义：对于整数a、b（b≠0），如果a除以b得到的商是一个整数q，即a÷b＝q或a=bq，

5、则称a能被b整除，或称b能整除a，记作，此时a叫做b的倍数，b是a的因数；如果b不能整除a，记作ba2、数的整除的若干性质：根据整除的定义，有如下性质：（1）如果，，m，n为整数，那么.（2）如果，，那么。（3）如果，且a、b互质，那么。（4）如果，，且a，c互质，那么。（5）n个连续整数的连乘积，一定能被1×2×3……×n整除。3、数的整除特征：（1）能被2（或5）整除的数的特征：个位数字能被2（或5）整除。（2）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。（3）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（

6、或125）整除。（4）能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之后能被3（或9）整除。（5）能被11整除的数的特征：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除。（6）能被7、11、13整除的数的特征：奇位千进位数段之和与偶位千进位数段之和的差能被7、11、13整除。例如，判别34425391能否被7、11、13整除，先从后往前分节，得34，425，391。奇位千进位数段之和为34+391=425，偶位前进位数段之和为425，两者之差为425－425＝0。因为0能被7、11、13整除，所以34425391能被7、11、13整除。

7、上述性质与特征是解决整除问题的重要理论依据。解决整除问题常用的方法有：利用数的整除特征，凑连续整数乘积法，整数的多项式表示法，按同余分类整数表示法、考虑余数法、奇偶性分析法等等。4、质数与合数：11一个大于1的正整数a，如果只有1和a这两个约数，那么a叫做质数，也叫做素数；如果除了1和a这两个约数外，还有其他正约数，那么a叫做合数。这样，自然数按约数的个数可分为0、1、质数和合数四类。在关于质数与合数的问题中，除了广泛运用它们的定义外，还要运用如下关于质数与合数的性质：（1）质数有无穷多个，最小的质数是2，不存在最大的质数。（2）除

8、2以外的全体偶数是合数，除2以外的全体质数是奇数。（3）任何大于1的自然数都可以分解成质因数的乘积，即N=（N为大于1的自然数，为质数，为正整数）。如果不考虑这些质因数的顺序，这种分解方法是唯一的。质数与合数问题是数论中的另一个基本问