空间向量与垂直关系

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1、第2课时　空间向量与垂直关系1．能利用平面法向量证明两个平面垂直．2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系.1．求直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2．利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题．(重点、难点)在上一节中，我们研究了空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的平行关系与直线的方向向量和平面的法向量的关系；那么，直线的方向向量和平面的法向量与空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系间又有什么联系呢？空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线

2、垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔.设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔.若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔.a⊥ba∥uu·v＝0解析：因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.答案：B2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)

3、，平面α的法向量为u＝(4,0,8)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析：∵a∥u，∴l⊥α.答案：B1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BD的中点，求证：(1)AC1⊥BD，(2)AC1⊥A1E.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．试用向量法判断MN与平面A1BD的位置关系．[题后感悟]用向量法证明线面垂直的方法与步骤2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面G

4、BD.[题后感悟]利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，

5、AB

6、＝

7、BC

8、＝2，

9、BB1

10、＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，以直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，空间中的垂直关系及其向

11、量证明方法(1)线线垂直①证明两直线的方向向量垂直．②证明两直线所成角为90°.③先证明线面垂直，利用线面垂直的性质．(2)线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行．②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．③先证明面面垂直，利用面面垂直的性质．(3)面面垂直①证明两平面的法向量相互垂直．②证明两个半平面内同时垂直于棱的两个向量(起点在棱上)夹角为90°.③转化为线线垂直或线面垂直．[提醒]根据题目条件，要灵活选择基向量法还是坐标法．◎在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱

12、BB1的中点，在棱DD1上是否存在点P，使MD⊥平面PAC?【错解】如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，【错因】错解的原因是割裂了数形关系，没考虑到几何体的特征，点P应在线段DD1上，而不是其延长线上．【正解】由以上步骤得x＝2∵0≤x≤1∴不存在点P使MD⊥平面PAC.