函数可积绝对可积及平方可积的讨论

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1、万方数据20嘿誓¨曼月．河．北一工程技术高等专科学校学报Ju。．2002——墅鲨L_—————塑坚坠兰坐望兰塑兰竖!堕坚堡!竖垒型里!兰型型!暨垒兰婴竖兰鱼兰堕!；i文章编号：l008—3782(2002)()2—0043一03函数可积绝对可积及平方可积关系的讨论王洪林(河北工程技术高等专科学校基础部，河北沧州061001)摘要：介绍了在定积分和广义积分中函数，(z)可积与l，(z)1可积以及尸(z)可积，三者之间的关系。关键词：可积；收敛；发散中图分类号：0172．2文献标识码：A学过数学分析的读者都知道，在定积分(常义积分)中，若函数／(z)可积，则J／(z)}也可积，但

2、反之不成立。而在广义积分中情况刚好相反，即若l厂(z)I可积，则由柯西收敛准则可以证明厂(z)也可积，反之不成立。关于这两个命题，在～般数学分析参考书中都给予严格证明，这里不再重复。对于这两个命题之逆不真，日J举例说咧。在定积分下：例1设．厂(z)：f1'当z为有理数，I-l，当z为元理数．该函数在[o，1]的任何区间上，振幅刨=2，从而手q△五=2其极限不为零，可知rl厂(z)dz不可积。但l厂(z)I一1，显然』j1厂(z)Idz可积。在广义积分下，j。”艺了dz由狄利克来判别法知道它是收敛的，但是f?。l警Idz却是发散的。。，，奎中除讨论在定积分和广义积分情况下，厂(

3、z)与l厂(z)l可积性关系外，还将讨论它们与尸(z)的可积性关系。’⋯’1定积分中，(x)，，2(x)，j，(x)I的可积性之间的关系‘1’若定积分j。厂(z)dz存在，则J!I厂(z)Jdz也必存在。反之不真。(2)若厂(z)在_，6]上可积，则f：户(z)dz也必存在。利用定积分存在的充要条件可证明结论：若厂b)和g(z)在_，6]上可积，则必有f厂(z)g(z)dz存在。而f尸(∽dz=f厂(劫·厂(z)dz，所以若f厂(z)dz存在，则必有，：厂z(z)dz存在。农i逆命题不真，即f尸(∽d．z存在，未必有f厂(z)dz存在(参看例1)。(3)J／(。’)f可积，等

4、价于尸(z)可积。1’若1厂‘z’；在豳，6]上可积，因尸(丁)一1／’(z)1·1厂(z)l，由结论(2)知必有f6户(z)dz存在。2)若f尸(z)dz存在，则rl厂(∽Jdz也存在。收稿日期：2000—12—05作者简介：王洪林(1963-)，男，河北沧县人，河北工程技术高等专科学校讲师。万方数据44河北工程技术高等专科学校学报证明：因f／’2(∽dz存在，故对任意￡o，对任意分割7’，只要II丁《<艿，就有∑(M，一7”，)△·rr<82这里M川”，分别为相应区间△。上的厂2(z)的上、下确界，显然M，≥巩≥o而h／1(z)ld，r—f6、／7=百万d丁

5、，只要证明∑(刃瓯一／瓦)△tt—o即可。事实上，对上述s以及分割丁，凡是分割区间厶中Ml<￡2的那些区间，不妨记为△一则必有∑(棚瓯一厩i)△z。，<￡(6一日)凡是△。中的M≥e2的那些区间，不妨记为△，。，则∑(棚瓯～佤)舡，一∑_丝二罢△即，，√^4一+√，珊)≤等半缸，≤÷手(M—m。)缸。

6、2，(x)与，2(x)的可积性关系厂(z)可积是否有尸(z)可积，反之又如何呢?例2r尝dz收敛，但r学dz发散。例3』：去收敛，但胆发散。反之，如果尸(z)可积，对无界函数广义积分有，(z)也可积(由j厂(z)j≤L掣，利用比较审敛法知1厂(z)；必可积，从而也有，(z)可积)。而对无穷区间广义积分未必有厂(z)可积，见下例。例4r争收敛，但r争发散。2．3厂z(x)与l厂(x){的可积性关系在无界函数广义积分中由上述讨论已知，若尸(z)可积，则J厂(z)j必可积。而在无穷区间广义积分中，尸(z)可积，I厂(z)I未必可积(参看例4)。现考察j厂(z)l可积，厂2(z)是否

7、可积。我们发现两类广义积分均不一定可积。例5f1三dz收敛，但r去d．r发散。Joz百Joz言l门2，例6设厂(z)一