第6讲三角函数图象与性质(学生)

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1、专题2　三角函数与平面向量第6讲三角函数的图象与性质一.瞄准高考1.任意角的三角函数(1)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sinα=y,cosα=x,tanα=.(2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限.3.同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,tanα=(cosα≠0).4.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,w>0)的性质①定义域;②值域;③周期性;④单调性;⑤对称性.5.函数y=Asin(ωx+φ)的图象

2、(1)“五点法”作图;(2)图象变换.二.解析高考题型一　三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例1如图在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两点,已知A、B的横坐标分别为、.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值..【变式】已知点P(sin,cos)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值_______.题型二三角函数的图象与解析式例2已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0≤φ<2π)在同一周期内有最高点(,1)和

3、最低点(,－3).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.【变式】如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,A>0,

4、φ

5、<)图象的一部分,则f(x)的解析式为______________.题型三　三角函数的图象与性质例3已知向量m=(cosωx,sinωx),n=(cosωx,cosωx),设函数f(x)=m·n.(1)若f(x)的最小正周期是2π,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的图象的一条对称轴是x=,(0<ω<2),求f(x)的周期和值域

6、.例4已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,－<φ<的图象如图所示,直线x=,x=是其两条对称轴.(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间;(2)若f(α)=,且<α<,求f的值.三.感悟高考1.五点法是作图的基础,五点的横坐标由ωx+φ分别取0,,π,,2π来确定;由y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分求其解析式,其中A是图象最高点和最低点纵坐标之差的一半,ω由公式T=确定,φ由ωx+φ所对应的五点中的“关键点”的坐标来确定.2.求三角函数的定义域实质上是解不等式(组),一般根据三角函数的图

7、象或三角函数线直接写出三角不等式的解,求三角函数的值域(最值),一般要结合函数的图象,利用单调性和定义域求解.3.求三角函数的单调区间、对称轴、对称中心等体现了化归及整体代换的思想,关键是视ωx+φ为单角θ,将问题转化为最基本的三角函数y=sinθ或y=cosθ来处理.4.求三角函数的值域(最值)的常用方法:①化为求代数函数的值域;②化为求y=Asin(ωx+φ)+B的值域;③化为关于sinx(或cosx)的二次函数式.四.备战高考1.(2010·江苏卷)定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图

8、象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为________.2.(2010·四川卷)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是.3.(2010·福建卷)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位,所得图象与原图象重合,若wÎ{5,6,7,8},则ω的值为.4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,

9、φ

10、<)的图象关于直线x=对称,它的最

11、小正周期为π.则函数f(x)图象上离坐标原点O最近的对称中心是.5.(2010·全国卷)若cosα=－,α是第三象限的角,则sin(α+)等于.6.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则其解析式为.7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(0

12、存在αÎ(0,),使f(α)=;②存在αÎ(0,),使f(x+α)=f(x+3α)恒成立;③存在θÎR,使函数f(x+θ)的图象关于y轴对称;④函数f(x)的图象关于点(,0)对称.其中正确命题的序号是________.9.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x－1(xÎR).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0,上的最大值和最小值;(2)若函数f(x+