资源描述：
《抛物线弓形面积的阿基米德算法_陈伟侯》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1999年第10期数学通报抛物线弓形面积的阿基米德算法(中国农业大学西区数学组10094)陈伟侯,在抛物线上选定两点过这两点的弦和抛物2”一‘个,,级内接三角形,记它们,;的面积之和为浅线弧围成一个抛物线弓形.古希腊的伟大学者阿,,基米德(ArehimedeS公元前287~212年)曾提出参看图1我们有:,一个计算抛物线弓形的算法先以弦为底作抛物A:△扩B梯形动佛形、佛形,l一S一S别一S以一SBc’,aac线弓形的内接三角形过这个三角形的第三个顶f()+f(b)f()+f()(acab一)一(一)一,22
2、点且平行于抛物线对称轴的直线恰好过弦的中c)十f(;f(b)点第二次在新出现的两个弓形中分别用同样的(b一c)2;方法作内接三角形第三次在新出现的四个弓形f(a)十、f(b)f(a)+f(e);;nara中分别用同样方法作内接三角形⋯⋯第次在(b一)一(b一)一222”一‘新出现的个弓形中分别用同样的方法作内接f(e)+f(b)ra(1一)(b一)三角形;’二这种用三角形填满弓形的方法叫做穷2.a产aa‘竭法(t}lemethodofexhaustion)阿基米德用几b一f()+f(b)f()十f()匕r,
3、,2乙一何方法巧妙地算出所求的弓形面积恰好是第一e)+ff((b)次所作内接三角形面积l·(1一r)〕A的倍下面我们用音2_a_,.b一二现代数学语言介绍阿基米德算法=立二〔(1一—r)f(a)+(b)一—f(c)〕’,、rf2、、一J一,y一f(x)一l了+mxn,设抛物线方程为十不b一a,_,,几干一匕又1一r)J弋a)2了戈b)一JLar又b一失一般性可设l>O并且抛物线与横坐标轴没-一乙十十,.有交点如图1所示a))〕,_在抛物线上取点A(a、b一a_-二〔(razanrz阴b十n,,,,一一、、1
4、一一’)(、l+’‘阴’-一+)+(lb+)f(a))B(bf(b))C(cfA2一一ara2aran,.一(l(+(b一))+m(+(b一))+)〕(c))作成△ACB由于a_b一a,cb二一rr乙.<<则=万二l’(、1一’)(、b一a),·2一一-一cara=十(b一)最后就得一般的公式此处Or<1(在阿基米德13<,一:(1一二)l。一。1坦¹“d“eb乙的作法中r-令)这个}引.山二一}abl}bC}}a}△ACB叫一级内接三角图1一艺一一一,.,,类似地我们有形它的面积为Ar,2固定前面的比例系
5、数在弧ACB上选取点△乃]lr(r。a3,SJ-一1一)}一},,,,D(df(d))E(ef(e))使△C··、动一().、,d=ar(c一a)卜十粤一,e~c+r(b一c)A:一S△A△cEDDc+S,△ADC和△CEB叫做二级内接三角形记它们}11““rr‘a.一六护戈1一)匕1一l}b一川J2十的面积之和为A乙··3·3,:2一()〔:(。),+.()(。)}〕采取同样的选点方法我们可以作出2个粤卜一卜一,3;3三级内接三角形记它们的面积之和为A2个一·(·).。}3(3二2一3二十1).,4;;卜
6、一四级内接三角形记它们的面积之和为A⋯粤24l卿9年第10期数学通报一R一3)少一厂口厂.我们记3十l(由加一3一1一3行一圆锥曲线进行研究的基础上当时已导出以下性41一Rl2):,质(参看「于)+一,O<厂<1,显然有丰簇<就得]任ZAMMC八:一AIRºDEZEC’A:IR,显然用推出一八的办法可以推出阿基米德取M为AE.A。一:R一A1RZ,P为AM中点A中点就有、3、,3Z2A=AR=魂RMCAM(ZDE)ZZECDEDE,,,一月41A一IR一AIR一八一E=,一M3EC图2由于各级内接三角形面积
7、之和是弓形ACB·Mc一ME一PD的面积,因此有李{3告、弓形、B:。,,ZP,S一八十A+A十⋯十A+⋯又由△APW的△AMC得MC一W因而“,Z,’一生(1+R+R十⋯+夕+⋯)9.PW=子P-D--今P一W=Z一W’D一lR3一A/1一»,,,:,,这样沿用前面定义的记号AA⋯就得我们进一步注意到厂一,,2,7,1一R=1一(3一3+1)=3(1一)△AoP△八:r,么八。M△A议,△八。z,S=25S=45S=代入»就得到85△AIX’△AD△A阳21。4l·。3今SS冷“A‘、下飞一5.})一b八
8、A-—--一导一¹音4一-一综上所述,就得如下的一般结果.类似地可得出3Z21‘“一A一(,“,二n,定理令f(二)一l厂+二十在该抛物线上誉告、,,‘,,,,任意取三点八(af(a))B(bf(b))C(。f(。))433IA一A一(,A,,一.ca7O,1此处设一+(b一a)<<则有告专(1)s△‘生,,(卜·).。一)3一。。.一号誉一n+:1..=(·1b一。。一aA-—八、与’A}日44△通c召(2)S
