《向量的线性相关性》PPT课件

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1、第7节向量组的线性相关性线性组合与线性表示线性相关与线性无关线性相关性判定定理极大线性无关组的概念下页一些重要方法3月20日作业：29（2）30（2）3233（2）（3）7.1线性组合与线性表示例1．设a1=(1,0,0)，a2=(0,1,0)，a3=(0,0,1)，b=(2,-1,1)，则b=(2,-1,1)是向量组a1，a2，a3的线性组合.即b=(2,-1,1)是向量组a1，a2，a3的线性组合，也就是说b可由a1，a2，a3线性表示.因为2a1-a2+a3=2(1,0,0)-(0,1,0)

2、(0,0,1)=(2,-1,1)=b，定义1给定n维向量b，a1，a2，，am，如果存在一组数k1，k2，，km，使bk1a1k2a2kmam，则称向量b是向量组a1，a2，，am的线性组合，或称b可由向量组a1，a2，，am线性表示.下页例2．任何一个n维向量a=(a1,a2,,an)都是n维单位向量组e1=(1,0,,0)，e2=(0,1,,0)，，en=(0,0,,1)的线性组合.这是因为a=a1e1a2e2a

3、nen.注：向量组e1，e2，，en称为n维单位（或基本）向量组.下页7.1线性组合与线性表示定义1给定n维向量b，a1，a2，，am，如果存在一组数k1，k2，，km，使bk1a1k2a2kmam，则称向量b是向量组a1，a2，，am的线性组合，或称b可由向量组a1，a2，，am线性表示.例3．零向量是任何一组向量的线性组合.这是因为o=0a10a20am.例4．向量组a1，a2，，am中的任一向量ai(1im)都是此向量组

4、的线性组合.这是因为ai=0a1+1ai0am.下页7.1线性组合与线性表示定义1给定n维向量b，a1，a2，，am，如果存在一组数k1，k2，，km，使bk1a1k2a2kmam，则称向量b是向量组a1，a2，，am的线性组合，或称b可由向量组a1，a2，，am线性表示.注：（1）并非每一个向量都可以表示成某几个向量的线性组合（2）一个向量可以由一组向量线性表示，但表示式未必唯一下页例5．线性方程组的向量表示(向量方程)a11x1a2

5、1x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++-+下页a11a21am1x1a12a22am2x2+xna1na2namn++b1b2bm=或即其中,定义2设有n维向量组a1，a2，，am，如果存在一组不全为零的数k1，k2，，km，使k1a1k2a2kmamo成立，则称向量组a1，a2，，am线性相关，否则，即只有当k

6、1，k2，，km全为0时k1a1k2a2kmamo才成立，则称向量组a1，a2，，am线性无关.下页7.2线性相关与线性无关线性相关性判定方法一般方法，用于m个n维向量组的情形.一般可通过定义、判定定理及后面向量组的秩等内容进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.特殊方法，用于n个n维向量组的情形.可通过行列式判定.例6.讨论下列向量组的线性相关性.解:对于向量组，显然有即存在一组不全为零的数练习：讨论下列向量组的线性相关性，其中：下页即使得所以向量组a1,a2,a3,线

7、性相关.一般方法（举例）对于n个n维向量组成的向量组a1，a2，，an，设有一组数k1，k2，，kn，使k1a1k2a2knano成立.由向量的运算性质可得k1a1k2a2knan=o，即从而得向量组a1，a2，，an线性无关(相关)的充分必要条件是:下页特殊方法（推导）①设有一组数k1，k2，，kn，使k1a1k2a2knano成立.(1)②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组(2)下页特殊方法（解题步骤）③判断上面关于

8、k1,k2,,kn方程组(2)有无非零解?④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.即行列式或核心问题！例7.讨论下列向量组的线性相关性.即方程组因该方程组的系数行列式所以，线性方程组有非零解，从而，向量组a1,a2,a3,a4,线性相关.下页特殊方法（举例）解:对于向量组a1,a2,a3,a4,设有一组数k1,k2,k3,k4,使得下式成立亦即方程组解题要点：找向量方程的非零解.例8．设向量组a1，a2，a3线性无关，令b1a1a2，