2.6.2 菱形的判定

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1、2.6.2菱形的判定四条边都相等的四边形是菱形．如图，用四支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？下面我们来证明这个结论.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.∵AD=BC,AB=DC,∴四边形ABCD是菱形.由此得到菱形的判定定理1：动脑筋例1如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是菱形.证明：∵线段BD垂直平分AC,∴BA=BC,DA=DC,OA=OC.在△AOB和△COD中，∵∠1=∠2，∠AOB=∠COD,OA=OC,∴△AOB≌△COD.∴AB=

2、CD.∴AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.例题菱形的两条对角线互相垂直平分，从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？过点O画两条互相垂直的线段AC,BD,使得OA=OC,OB=OD.连接AB,BC,CD,DA.则四边形ABCD是菱形，如图.动脑筋你能说明这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？我们来进行证明.在□ABCD中，AC⊥BD,OA=OC,∴

3、BD是AC的垂直平分线.∴DA=DC.∴□ABCD是菱形.由此得到菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.例2如图，在□ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB的长.解∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=AC=3，OD=BD=4.又∵AD=5，满足AD2=OA2+OD2，∴△DAO是直角三角形.∴∠DOA=90°，即DB⊥AC.∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.∴AB=AD=5.例题练习1.画一个菱形，使它的两条对角线的长度分别为4cm，3cm.解：如图，菱形的边长为.练习2.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交与点

4、O，过点O作MN⊥BD，分别交AD,BC于点M,N.求证：四边形BNDM是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OD=OB.∴∠MDO=∠NBO.∵MN⊥BD，∴∠MOD=∠NOB=90°.∴△MOD≌△NOB（ASA）.∴MD=NB.又∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形.本节课我们学习了菱形的判定定理：1.四条边都相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.数学让生活更美下次再见