应用根与系数关系莫忘判别式

《应用根与系数关系莫忘判别式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、应用根与系数关系莫忘判别式湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬一元二次方程中根与系数的关系称作韦达定理。韦达定理在解决与一元二次方程有关的实际问题中有着广泛的应用。但在应用韦达定理时，很多同学往往忽视一个重要制约条件，这就是要先保证该一元二次方程有实数根（满足根的判别式），如果一元二次方程没有实数根，则也不存在根与系数的关系。因此，我们在应用韦达定理时要牢记判别式条件。 例1　已知x、x是方程2x－2x+1－3m=0的两个实数根，且xx+2（ x+x）＞0，那么实数m的取值范围是          。 

2、解析：⑴方程有两个实数根，则（-2）－4×2（1－3m）≥0，∴m≥ ⑵由韦达定理x+x=1，xx= ，又xx+2（ x+x）＞0 即有+2＞0   ∴m＜      ∴实数m的取值范围是≤m≤ 点拨：应用韦达定理的前提是要保证方程存在实数根。 例2　若关于x的一元二次方程3x+3（a+b）x+4ab=0的两个实数根x、x满足关系式x（ x+1）+x（x+1）=（x+1）（x+1），判断（a+b）≤4是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请举一反例。 解析：⑴由x（ x+1）+x（x+1）=（

3、x+1）（x+1）， 变形得： （x+x）－3xx－1=0   由韦达定理有x+x=－（a+b），xx=ab 即有（a+b）－4ab－1=0   ∴（a+b）=4ab+1 ⑵方程有两个实数根，由根的判别式9（a+b）－48ab≥0，∴（a+b）≥ab ∴4ab+1≥ab，可得4ab≤3     ∴（a+b）=4ab+1≤4。 点拨：由根的判别式作中间条件推导出4ab≤3是本题的解题关键。 例3　设x、x是方程2x－4mx+2m+3m－2=0的两个实数根，当m为何值时x+x有最小值？并求出这个最小

4、值。 解析：⑴由根的判别式16m－8（2m+3m－2）≥0，  ∴m≤ ⑵由韦达定理有x+x=2m，xx= 设y=x+x=（x+x）－2xx=4m－（2m+3m－2）   =2m－3m+2=2（m－）+ y关于m的二次函数对称轴m=，m≤＜时，y随m的增大而减小 ∴m=时，y有最小值，即x+x有最小值。最小值为：2（－）+= 点拨：由根的判别式确定m的取值范围，从而正确地确定二次函数区间上的最小值。 练习： 1．若关于x的方程2x－2x+3m－1=0有两个实数根x、x，且xx＞x+x－4，则实数

5、m的取值范围是（    ）。 A．m＞； B。m≤； C。m＜； D。＜m≤ 2．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程2x－12x+m=0的两根，则m的取值范围是          。 （1．参考答案：B；2．点拨：由方程两根之差小于第三边，结合韦达定理、判别式可求得＜m≤18）