《复数与复变函数》PPT课件

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1、复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.第一章复数与复变函数复数复数表示及运算平面点集复变函数极限和连续性复数、复数表示及运算复数的概念复数相等复数形如z=x+i

2、y的数被称为复数，其中x,y∈R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1z1=z2当且仅当Rez1=Rez2且Imz1=Imz1复数不能比较大小复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴模幅角主幅角并规定幅角按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.当z=0时,

3、z

4、=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:说明：当z在第二象限时，例3求和解复数的表示代数表示：z=x+iy三角表示：指数表示：注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差例4求的三角表示式与指数表示式.解因为所

5、以设则又因为位于第II象限所以于是例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,因此因此2)显然,r=

6、z

7、=1,又因此复数的运算设z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1+(-z2)-z2乘法运算两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加除法运算两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减复数四则运算规律：（1）加法交换律（2）乘法交换律（3）加法结合律（4）乘法结合律（5）乘法对于加法的分配律共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为共轭复

8、数为是复数z关于实轴的对称点共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）为实数..例1化简解例2设，求及解所以1.复数的乘幂设为正整数，个非零相同复数的乘积，称为的次幂，记为，即若，则有当时，得到著名的棣莫弗公式例7求解因为所以例8已知，求解因为所以复数的方根称满足方程的复数为的次方根，记作或记作令解出由即可求出6个根，它们是例解方程解因为所以例2计算解因为所以即练习平面点集邻域平面上以为心，为半径的圆：内部所有点的集合称为点的—邻域，记为，即称集合为的去心—邻域，记作z0开集如果点集的每一个点都是的内点，则称为开集.闭集如果点集的余

9、集为开集，则称为闭集.连通集设是开集，如果对于内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于，则称开集是连通集.Dz1z2p区域区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域.闭区域开区域连同它的边界一起，称为闭区域，记为.平面图形的复数表示很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例1：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Z平面上以Z0为中心、R为半径的圆周方程为连接z1和z2两点的线段的参数方程为过两点z1和z2的直线L的参数方程为例2：考察下列方程（或不等式）在平面上

10、所描绘的几何图形。（1）该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i和－2的线段的垂直平分线，它的方程为y=－x。（2）设z=x+iy,（3）表示实轴方向与由点i到z的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自i点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括i点）（4）例3：指出不等式中点z的轨迹所在范围。解：因为所以于是有它表示在圆外且属于左半平面的所有点的集合图11.简单曲线、简单闭曲线平面曲线若存在满足且的使重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或则称此曲线C有，约当（Jordan）曲线；除外无其它重点的连续

11、曲线称为简单闭曲线，例如是一条简单闭曲线（如图1）.在几何直观上，简单曲线是平面上没有“打结”情形的连续曲线，即简单曲线自身是不会相交的；简单闭曲线除了没有“打结”情形之外，还必须是封闭的，例如，图1.10中的是简单曲线，是简单闭区域，图1.11中的，不是简单曲线，但是闭曲线.图1.10图1.112.光滑曲线、分段光滑曲线设曲线的方程为若，在上可导且，连续不全为零，则称曲线为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.3.单连通域、多连通域设是复平面上一区域，如果在内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在中，则称区域为单连通区域；否则称为

12、多连通区域或复连通区域.在几何直观上，单连通区域是一个没有“空洞（点洞）和缝隙”的区域，而多连