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1、第一章 复数与复变函数第一节 复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点第一节 复数1复数域形如的数，称为复数。其中实数和分别称为复数的实部和虚部，常记为全体复数并引进四则运算后称为复数域加（减）法乘法除法相等：当且仅当共轭复数：2复平面一个复数本质上由一对有序实数唯一确定。可对应于平面上的点，这样表示复数的平面称为复平面或平面。其中轴称为实轴，轴称为虚轴。3复数的模向量的长度称为复数的模或绝对值，即：模的性质（1）（2）（3）（4）点与点的距离为4复数的辐角实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角满
2、足称为复数的辐角，记为：任一非零复数有穷多个辐角。以表其中的一个特定值，并称合条件的一个为的主值，或称之为的主辐角。有下述关系：5复数的表示代数形式：三角形式：指数形式：6复数的乘幂与方根第一章第一节例题及习题第二节复平面上的点集1.2.1复平面点集的几个基本概念1.2.2区域与约当(Jordan)曲线1.2.3典型例题1.2.4小结与思考1.2.1复平面点集的几个基本概念定义1.1邻域:记作:N(z0)N(z0)={z
3、
4、z-z0
5、<}记作：N0(z0)={z
6、0<
7、z-z0
8、<}定义1.2聚点、外点、孤立点如果z0属于E，但不是E
9、的聚点，则称z0为E的孤立点.如果z0不属于E，又不是E的聚点，则称z0为E的外点.z0为E的孤立点>0:N(z0)E={z0}z0为E的外点>0:N(z0)E=定义1.3内点:如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.如果在z0的任意一个邻域内,都有属于E的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。z0为E的内点>0:N(z0)E点集E的全体边界组成的集合称为E的边界.记为：E定义1.4有界集和无界集:zxy有界！o定义1.5区域:如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开
10、集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.1.2.2区域与Jordan曲线D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+Dz1z2D说明(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(1)区域都是开的.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界不包含边界！(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.定义1.7连续曲线:平面曲线C的复数表示:C的实参数方程C的复参数方程起点z()C终点z()zxyCC的正向：起点终点o
11、没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).重点重点重点换句话说,简单曲线自身不相交.简单闭曲线的性质约当定理任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：I(C)E(C)边界（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C相交.（4）C是I(C)，E(C)的公共边界.2.光滑曲线:由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.特点（1）光滑曲线上的各点都有切线（2）光滑曲线
12、可以求长课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭4.单连通域与多连通域的定义:复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域三、典型例题例1指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.有界的单连通域.例2解满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指
13、出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.是多连通域.不是区域.单连通域.四、小结与思考应理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域理解单连通域与多连通域.放映结束，按Esc退出.第三节复变函数1.3.2复变函数的概念1.3.2复变函数的极限与连续1.3.3小结与思考1.3.1复变函数的定义1.复变函数的定义:2.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合:4.复变函数与自变量之间的关系:例如,若令z=rei,则w=f(z)=u(r,)+iv(r,)1.3.2、复
14、变函数的极限与连续1.函数极限的定义:注意:一.函数极限:2.极限计算的性质定理1.2证根据极限的定义(1)必要性.(2)充分性.[证毕]说明定理与实
