量子力学第9章-含时微扰

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1、§1含时微扰理论§2量子跃迁几率§3光的发射和吸收第5章-2量子跃迁§1含时微扰理论(一)引言（二）含时微扰理论(一)引言上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系Hamilton算符不显含时间，因而求解的是定态Schrodinger方程。本章讨论的体系其Hamilton算符含有与时间有关的微扰，即：因为Hamilton量与时间有关，所以体系波函数须由含时Schrodinger方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。含时微扰理论可以通过H0的定

2、态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。假定H0的本征函数n满足：H0的定态波函数可以写为：n=nexp[-iεnt/]满足左边含时S-方程.定态波函数n构成正交完备系，整个体系的波函数可按n展开：代入因H’(t)不含对时间t的偏导数算符,故可与an(t)对易。相消（二）含时微扰理论以m*左乘上式后对全空间积分该式是通过展开式改写而成的Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。求解方法同定态微扰中使用的方法：（1）引进一个小参量

3、，用H'代替H'（在最后结果中再令=1）；（2）将an(t)展开成下列幂级数；（3）代入上式并按幂次分类；(4)解这组方程，我们可得到关于an的各级近似解，从而得到波函数的近似解。实际上，大多数情况下，只求一级近似就足够了。（最后令=1，即用H’mn代替H’mn，用am(1)代替am(1)。）零级近似波函数am(0)不随时间变化，它由未微扰时体系所处的初始状态所决定。假定t0时，体系处于H0的第k个本征态k。而且由于exp[-int/]

4、t=0=1，于是有：比较等式两边得比较等号两边同幂次项得：因an(0)不随

5、时间变化，所以an(0)(t)=an(0)(0)=nk。t0后加入微扰，则第一级近似：an(0)(t)=nk§2量子跃迁几率（一）跃迁几率（二）一阶常微扰（三）简谐微扰（四）实例（五）能量和时间测不准关系体系的某一状态t时刻发现体系处于m态的几率等于

6、am(t)

7、2am(0)(t)=mk末态不等于初态时mk=0，则所以体系在微扰作用下由初态k跃迁到末态m的几率在一级近似下为：（一）跃迁几率（1）含时Hamilton量设H'在0tt1这段时间之内不为零，但与时间无关，即：（2）一级微扰近似am(1)H'mk与t无关(0

8、tt1)（二）一阶常微扰（3）跃迁几率和跃迁速率极限公式：则当t→∞时上式右第二个分式有如下极限值：于是：跃迁速率：（4）讨论1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量εm≈εk，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。2.式中的δ(εm-εk)反映了跃迁过程的能量守恒。3.黄金定则设体系在εm附近dεm范围内的态数目是ρ(εm)dεm，则跃迁到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为：黄金规则（1）

9、Hamilton量t=0时加入一个简谐振动的微小扰动为便于讨论，将上式改写成如下形式F是与t无关只与r有关的算符（2）求am(1)(t)H’在H0的第k个和第m个本征态φk和φm之间的微扰矩阵元（三）简谐微扰几点分析:(I)当ω=ωmk时，微扰频率ω与Bohr频率相等，上式第二项分子分母皆为零。求其极限得：第二项起主要作用(II)当ω=ωmk时，同理有：第一项起主要作用(III)当ω≠±ωmk时，两项都不随时间增大总之，仅当ω=±ωmk=±(εm–εk)/或εm=εk±ω时，出现明显跃迁。这就是说，仅当外界微扰含有频率ωmk时，体

10、系才能从φk态跃迁到φm态，这时体系吸收或发射的能量是ωmk。这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。因此,我们只需讨论ω≈±ωmk的情况即可。（3）跃迁几率当ω=ωmk时，略去第一项，则此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H’mk→Fmk,ωmk→ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况下的跃迁几率为：同理，对于ω=-ωmk有：二式合记之：（4）跃迁速率或：（5）讨论1.δ(εm-εk±ω)描写了能量守恒：εm-εk±ω=0。2.εk>εm时，跃迁速率可写为：也就是说，仅当εm=εk-ω时跃迁几率才不为零

11、，此时发射能量为ω的光子。3.当εk<εm时，4.将式中角标m,k对调并注意到F的厄密性，即得体系由m态到k态的跃迁几率：即体系由Φm→Φk的跃迁几率等于由Φk→Φm的跃迁几率。例1.设t=0时，电荷为e