含时微扰与量子跃迁

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1、第十一章含时微扰与量子跃迁§11.1量子态随时间的演化§11.2突发微扰与绝热微扰§11.3周期微扰与有限时间内的常微扰§11.4能量-时间不确定度关系§11.5光的吸收与辐射的半经典理论§11.1量子态随时间的演化含时薛定谔方程的一般讨论：在量子力学中与时间相关的问题可分为两类：(1)系统的Hamilton量不依赖时间如散射问题或行进问题初始条件或边界条件的变化使问题与时间相关(2)系统的Hamilton量依赖时间如：频率调制的谐振子问题、与时间相关的受迫谐振子问题、交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题。11.1.1Hamilton量不含时的体系此时含时薛定谔方程的

2、解是是描述量子态随时间演化的算符。若初态可表示成其中则t时刻的波函数是例题1设一定域电子处于沿x轴方向的均匀磁场B中(不考虑电子的轨道运动)，电子的内禀磁矩与外磁场的相互作用是设初始时刻电子的自旋态为sz的本征态，sz=Ћ/2求t时刻电子的自旋波函数解法一：设t时刻电子的波函数是代入薛定谔方程得初始条件：a(0)=1,b(0)=0则两式相加、减得积分得上两式相加减得或解法二：体系的能量本征态和本征值分别为电子的自旋初态为则t时刻的波函数是11.1.2Hamilton量含时体系的量子迁移的微扰理论量子态随时间的演化更有意思的兴趣：在外界作用下体系在定态间跃迁的概率？编时算

3、符设无外界作用时，体系的Hamilton量为H0(不含时间)，包括H0在内的一组力学量完全集F的共同本征态是{

4、ψn>}，设体系初始时刻处于某一能量本征态

5、ψk>加入微扰后体系的哈密顿是由于并非力学量完全集中所有的量都是守恒量，因此体系不能保持在本征态，而是处于本征态的线性叠加在初态条件下求解薛定谔方程即将(19)代入(20)得上式左乘<ψk´

6、，并利用本征函数的归一性得其中初始条件在t时刻测量力学量F得到Fn值的概率是即体系从初态ψk在t时刻跃迁到ψn态的概率是Pnk(t)单位时间内的跃迁概率（跃迁速率）为如何求?用微扰法近似求解零级近似：忽略H´的影响，按照(22)

7、式有则根据式(24)有一级近似：在式(22)右边，令由此得出一级近似解且随时间缓慢变化，体系仍有很大的概率停留在原来的态。积分得因此在准确到微扰一级近似下有对k´≠k(初态不同于末态)则上式是微扰一级近似下的跃迁概率公式。上述公式成立的条件是即跃迁概率很小，体系有很大的概率仍停留在初始状态。选择定则：若H具有某种对称性使得H´k´k=0,则Pk´k=0，即在一级近似下，不能从初态k跃迁到末态k´,或者说从k态跃迁到k´态是禁戒的，就相应某种选择定则。注:(1)(2)如果初态和末态有简并，求跃迁概率时，应对初始能级诸简并态求平均，对终止能级诸简并态求和如在中心力场中是从n

8、lm态到n´l´m´态的跃迁概率(3)量子跃迁并不意味着末态能量与初态能量不同，也可在同能级间跃迁，如弹性散射，此时此时跃迁概率为例题2设在时，一维谐振子处于基态，问经过微扰时，处在第n个本征态

9、n>的概率。解：利用公式及产生与湮灭算符的性质可知，只有，其它均为零后，在跃迁概率为含时间微扰与定态微扰的关系定态微扰是含时微扰的一种近似，事实上，任何微扰总是与时间有关，如Stark效应，外加电场的时间总是比原子的特征时间大很多，因此微扰随时间的变化率可以认为是足够慢，此时可用定态微扰处理。§11.2突发微扰与绝热微扰11.2.1突发微扰设体系受到一个突发但有限的微扰的作用对

10、薛定谔方程两边积分，并取极限可得说明突发微扰不改变体系的状态。例题3：考虑β-衰变释放一个电子的持续时间原子中1s轨道电子运动的特征时间为则在此短暂的过程中，β-衰变前原子中的一个K层电子的状态还没有来得及改变，但由于原子核电荷已经改变，原来的状态并不是新原子的能量本征态，即不是新的1s态，那么原子有多大概率处于新的1s态？K层电子的波函数是则K电子处于新原子1s态的概率是如Z=10,则P~0.993211.2.2绝热微扰与突发微扰的极端情况相反，绝热近似假定施于体系的微扰作用时间足够长，变化足够慢。假定t→-∞时，体系处在无微扰状态，在(0,-∞)的足够长时间内加入微

11、扰，在t=0时，体系的哈密顿量为称为绝热因子。则若τ足够大，则§11.3周期微扰有限时间内的常微扰考虑周期为微扰则在时刻t体系从初态k跃迁到末态k´的跃迁振幅是跃迁概率是利用公式即可见，当单位时间内跃迁概率是常微扰的跃迁概率设t=0时刻体系处在态Φk，在微扰作用下体系跃迁到连续分布或接近连续分布的末态Φm,则跃迁概率为设微扰H´是个常数，只在(0,t)时间间隔内起作用，则体系在t´=0时处于Φk态，在t´=t时跃迁到Φm态的概率幅为则(5)(6)(7)利用公式，并作变量代换，则近似地单位时间内的跃迁概率(跃迁速率)为费米黄金规则即(8)(