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1、高考导航热点透析阅卷评析第2讲 三角恒等变换与解三角形高考体验答案:12.(2014高考新课标全国卷Ⅰ,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=m.答案:150感悟备考(1)三角恒等变换主要考查利用和差公式、二倍角公式、同角三角函数的关系式及其变形等进行求值,化简,多以选择、填空题的形式出现,或在解答题中作为化简三角函数的工具进行考查,试题难度中等及以下.(2)高考对解三角形问题
2、的考查主要包含三个方面:一是正、余弦定理的简单应用,以边、角、面积的计算为主,以选择题或解答题的形式出现,难度较小;二是正、余弦定理的综合应用,与其他知识(如不等式、三角恒等变换等)结合,难度中等或中等以上,多以填空题或解答题的形式出现;三是正、余弦定理的实际应用,以实际问题为背景,考查正、余弦定理的应用,试题难度为中等.题后反思三角恒等变换的常用技巧(1)常值代换:特别是“1”的代换,如1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=1+cos2α,α=(α-β)+β等;(3)降次与升降:正用二倍角公式
3、升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦;(5)公式的变形应用:如sinα=cosαtanα,tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等;题后反思(1)在解三角形问题时要根据题意恰当选择正弦定理或余弦定理实现边角互化,有时可能交替使用.热点三正、余弦定理的实际应用【例3】一缉私艇发现在其方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)45°方向,距离其15海里的海面上有一走私船正以25海里/小时的速度沿方位角105°的方向逃窜.若缉私艇的速度为35海里/小时,缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去,若要在最短时间内追上走
4、私船.(1)求角α的正弦值;(2)求缉私艇追上走私船所需的时间.题后反思正、余弦定理是解三角形的工具,而三角形应用问题中的测量问题、行程问题等都是考查正、余弦定理应用的常见模型.解决此类问题,首先根据题意合理画出示意图,并标注已知信息,然后结合图形将条件归结到某一个三角形中,最后正确选取正、余弦定理求解.热点训练3:如图所示,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sinα的值
5、.(1)证明:∵sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B.∵sinB≠0,∴sinA+sinC=2sinB,由正弦定理得a+c=2b.∴a、b、c成等差数列.题后反思解三角形常与三角恒等变换相结合考查正、余弦定理的应用,其实质是将三角形问题转化为代数问题.解题过程中也常利用三角恒等变换知识进行转化,本例中第(1)问可结合三角恒等变换,利用正弦定理把角转化为边;第(2)问可利用余弦定理将问题转化为关于a,b的方程.第一问赋分细则:①结果正确,过程合理得满分;②正弦定理用错不得分;③求出sinA后
6、,不考虑A的范围求出两解得4分(扣2分).第二问赋分细则:①结果正确,过程合理得满分;②余弦定理写错基本不得分;③面积公式写错扣2分.失分警示(1)不能正确地运用正弦定理将已知条件转化为角的关系式,导致无法继续解题,或者盲目地将角转化为边,得到的代数式较为复杂,无法进一步求解.(2)忽略条件“锐角△ABC中”而得到两解.(3)不能正确地选择余弦定理解三角形,从而无法求出三角形面积.解:(1)法一 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得b2-3b+2=0,所以b=1或b=2.点击进入限时训练
