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1、§1.3算法案例---秦九韶算法高二数学组梅杰一.教学目标1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质；2.能利用秦九韶算法进行一些多项式的计算，能用循环结构表示算法步骤。二．教学重难点1.理解秦九韶算法体现的思想；2.用循环结构表示算法步骤。三.教学过程（一）创设情景，揭示课题问题1：请同学们设计一个算法，计算当时的值。学生可能会提出两种做法：做法一：把5代入多项式的每一项，计算每一项的值，然后相加；做法二：先计算x的幂，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算x2,然后依次计算x2.x,(x2.x).x,((x2.x).x).x的
2、值，再各项相加。结合学生的做法，进行比较点评：①有哪些优点？哪些不足？②计算次数各是多少？有哪些计算种类？[做法一有15次乘法运算，5次加法运算；做法二有9次乘法运算，5次加法运算]对于计算机来说，做一次乘法运算所用时间要比做一次加法要长的多，所以算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数问题2：上述问题1还有没有更有效的算法呢？老师引导学生从因式分解的角度，将多项式变形为：思考：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x的系数依次是什么？师生一起列表表示出计算过程：原多项式x的系数423.5-2.61.7--0.8运算20110567.5282
3、4.514131+变形后x的系数422113.5564.92826.214130.2*5思考：让学生回顾整个计算过程，用此种方法一共进行了多少次乘法、加法运算？点评：一共进行了5次乘法，5次加法运算，相比较前两种做法，此做法更快、更方便，而且在计算过程中，只与多项式的系数有关。这种算法就是“秦九韶算法”，在此可以介绍下秦九韶生平。【见附页】（二）研探新知问题1：怎样用秦九韶算法求一般的多项式当x=x0时的值？类似上述方法，将多项式变形为：由内向外逐层计算一次多项式的值，把n次多项式的求值问题转化为求n个一次多项式值的问题，即求：,,…….思考：秦九韶算法使用一般的多项式中运算的次
4、数？运算种类？点评:秦九韶算法使用一般的多项式的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达,加法最多次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多次,加法最多次.问题2：怎样用程序语言来表示秦九韶算法呢？通过观察上述秦九韶算法中的n个一次式，可见计算要用到的值，若令，我们可以得到下面的递推公式：,（k=1,2,…,n）这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。师生一起分三步进行：①自然语言写算法：第一步,输入多项式次数,最高次项的系数和的值.第二步,；第三步,输入次项的系数；第四步,；第五步,判断是否大于等于,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值.②画程序框
5、图（略）③翻译成程序语言INPUT“n=”;nINPUT“an=”;aINPUT“x=”;xv=ai=n-1WHILEi>=0PRINT“i=”;iINPUT“ai=”;av=v*x+ai=i-1WENDPRINTvEND（三）例题讲解例1.利用秦九韶算法计算当时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？例2．利用秦九韶算法计算多项式当时的值点评:如果多项式函数中有缺项的画,要以系数为的项补齐后再计算.例3.某城市2001年末汽车保有量为万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的,并且每年新增汽车万辆.设计算法,计算经过多少年可使汽车保有量达到万辆.将此算法用程序语言给出.
6、解：设,经过几年的汽车保有量为,则上述各式充分说明了秦九韶算法的优点:可以通过递推关系进行迭代处理.程序为:C=0.94A=30n=0WHILEA<40A=A*C+3n=n+1WENDPRINTnEND（四）课堂小结（五）布置作业秦九韶生平简介 南宋大数学家秦九韶秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。 秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅
7、州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到
