2017年广东省中考数学备考必备第四部分中考题型攻略课时39解答题(三)题型

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广东中考总复习 数学第四部分 中考题型攻略 课时39 解答题(三)题型 题型解读  解答题(三)是广东中考数学试卷中的最后一种题型,也是难度最大的一种题型,通常是由三道包含多个知识点的几何与代数综合题组成. 解此类问题要求学生具备扎实的基础知识和熟练的解题技能. 通过对广东中考命题规律的分析,我们发现解答题(三)的常见题型有一次函数与反比例函数综合题、二次函数综合题、圆的综合题、三角形综合题、四边形综合题等类型. 在复习备考时,需要同学们针对各种类型的综合题进行强化训练,不断提高自己分析与解决问题的能力,积累做题经验,争取在本大题上取得最为理想的成绩. 分类突破考点类型1 一次函数与反比例函数综合题 巩固训练1. (2016茂名)如图4-39-1,一次函数y=x+b的图象与反比例函数 (k为常数,k≠0)的图象交于点A(-1,4)和点B(a,1). (1)求反比例函数的表达式和a,b的值;(2)若A,O两点关于直线l对称,请连接AO,并求出直线l与线段AO的交点坐标. 解:(1)∵点A(-1,4)在反比例函数 (k为常数,k≠0)的图象上,∴k=-1×4=-4.∴反比例函数解析式为把点A(-1,4),B(a,1)分别代入y=x+b中,得(2)连接AO,设线段AO与直线l相交于点M,如答图4-39-1所示. ∵A,O两点关于直线l对称,∴点M为线段OA的中点.∵点A(-1,4),O(0,0),∴点M的坐标为∴直线l与线段AO的交点坐标为2. (2016重庆)如图4-39-2,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图形与反比例函数 (k≠0)的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与y轴交于C点,过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH=3,tan∠AOH= ,点B的坐标为(m,-2). (1)求△AHO的周长;(2)求该反比例函数和一次函数的解析式. 解:(1)由OH=3,tan∠AOH= ,得AH=4,即A(-4,3). 由勾股定理,得△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12. (2)将A点坐标代入 ,得k=-4×3=-12. ∴反比例函数的解析式为 当y=-2时, ,解得x=6,即B(6,-2). 将A,B两点坐标代入y=ax+b,得3. (2016泰安)如图4-39-3,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,点C的坐标为(0,3),点A在x轴的负半轴上,点D,M分别在边AB,OA上,且AD=2DB,AM=2MO,一次函数y=kx+b的图象过点D和M,反比例函数的图象经过点D,与BC的交点为N. (1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)若点P在直线DM上,且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,求点P的坐标. 解:(1)∵正方形OABC的顶点C(0,3),∴OA=AB=BC=OC=3,∠OAB=∠B=∠BCO=90°.∵AD=2DB,∴AD= AB=2.∴D(-3,2).把D坐标代入 ,得m=-6.∴反比例函数的解析式为 .∵AM=2MO,∴MO= OA=1,即M(-1,0).把M与D的坐标代入y=kx+b中,得解得k=b=-1.则一次函数的解析式为y=-x-1.(2)把y=3代入 ,得x=-2.∴N(-2,3),即NC=2.设P(x,y),∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等,解得y=±9.当y=9时,x=-10,当y=-9时,x=8.则点P坐标为(-10,9)或(8,-9).4. (2016乐山)如图4-39-4,反比例函数 与一次函数y=ax+b的图象交于点A(2,2),(1)求这两个函数的解析式;(2)将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位,使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点,求m的值. 解:(1)∵A(2,2)在反比例函数 的图象上,∴k=4. ∴反比例函数的解析式为 . 又∵点 在反比例函数 的图象上,∴ n=4,解得n=8.即点B的坐标为B . 由A(2,2),B 在一次函数y=ax+b的图象上,得∴一次函数的解析式为y=-4x+10. (2)将直线y=-4x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y=-4x+10-m,∵直线y=-4x+10-m与双曲线 有且只有一个交点,令-4x+10-m= ,得4x2+(m-10)x+4=0.∴Δ=(m-10)2-64=0.解得m=2或m=18. 考点类型2 二次函数综合题 巩固训练1. (2016广州)已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A,B(1)求m的取值范围;(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3)当 <m≤8时,由(2)求出的点P和点A,B构成的△ABP的面积是否有最值?若有,求出该最值及相对应的m值. (1)解:当m=0时,函数为一次函数,不符合题意,舍去;当m≠0时,∵抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A,B,∴Δ=(1-2m)2-4×m×(1-3m)=(1-4m)2>0.∴1-4m≠0.∴m≠ .(2)证明:∵抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m,∴y=m(x2-2x-3)+x+1.抛物线过定点说明这一点的y与m无关,显然当x2-2x-3=0时,y与m无关.解得x=3或x=-1.当x=3时,y=4,定点坐标为(3,4);当x=-1时,y=0,定点坐标为(-1,0).∵点P不在坐标轴上,∴P(3,4). 2. (2016梅州)如图4-39-5,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),动点P在抛物线上. (1)b=___-_2____,c=___-_3____,点B的坐标为_(__-_1_,__0_)___;(直接填写结果)(2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由. 解:存在. 如答图4-39-2所示.①当∠ACP1=90°时,∵A(3,0),设AC的解析式为y=kx-3,将点A的坐标代入,得3k-3=0.解得k=1.∴直线AC的解析式为y=x-3. ∴直线CP1的解析式为y=-x-3. 将y=-x-3与y=x2-2x-3联立,解得x1=1,x2=0(不合题意,舍去).∴点P1的坐标为(1,-4). ②当∠P2AC=90°时, 设AP2的解析式为y=-x+b,将点A的坐标代入,得-3+b=0.解得b=3. ∴直线AP2的解析式为y=-x+3. 将y=-x+3与y=x2-2x-3联立,解得x1=-2,x2=3(不合题意,舍去).∴点P2的坐标为(-2,5). 综上所述,点P的坐标是(1,-4)或(-2,5). 3. (2016茂名)如图4-39-6,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD. (1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,过点P作PF⊥x轴于点F,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,当以F,M,N,G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标. 解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)如答图4-39-3,连接PC,PE,对称轴 ,当x=1时,y=4.∴点D的坐标为(1,4). 设直线BD的解析式为y=mx+n,∴直线BD的解析式为y=-2x+6. 设点P的坐标为(x,-2x+6),则PC2=x2+(3+2x-6)2,PE2=(x-1)2+(-2x+6)2. ∵PC=PE,∴x2+(3+2x-6)2=(x-1)2+(-2x+6)2. 解得x=2. 则y=-2×2+6=2. ∴点P的坐标为(2,2). (3)如答图4-39-4,设点M的坐标为(a,0),则点G的坐标为(a,-a2+2a+3). ∵以F,M,N,G为顶点的四边形是正方形,∴FM=MG,即|2-a|=|-a2+2a+3|. 当2-a=-a2+2a+3时,即a2-3a-1=0. 当2-a=-(-a2+2a+3)时,即a2-a-5=0. 4. (2016滨州)如图4-39-7,已知抛物线 与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C. (1)求点A,B,C的坐标;(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)令y=0,得 ∴x2+2x-8=0.解得x=-4或x=2.∴点A的坐标为(2,0).点B的坐标为(-4,0).令x=0,得y=2,∴点C的坐标为(0,2). (2)①当AB为平行四边形的边时,∵AB=EF=6,对称轴x=-1,∴点E的横坐标为-7或5.②当点E在抛物线顶点时,点 ,设对称轴与x轴交点为P,令EP与FP相等,则四边形AEBF是菱形,此时以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积=(3)如答图4-39-5所示,①当C为顶点时,CM1=CA,CM2=CA,作M1N⊥OC于点N,在Rt△CM1N中,∴点M1的坐标为(-1,2+ ),点M2的坐标为(-1,2- ). ②当M3为顶点时,∵直线AC的解析式为y=-x+2,线段AC的垂直平分线为y=x,∴点M3的坐标为(-1,-1). ③当点A为顶点的等腰三角形不存在. 综上所述点M的坐标为(-1,-1)或(-1,2+ )或(-1,2- ).考点类型3 圆的综合题 巩固训练1. (2016广州)如图4-39-8,点C为△ABD的外接圆上的一动点(点C不在 上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°. (1)求证:BD是该外接圆的直径;(2)连接CD,求证: AC=BC+CD;(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究DM2,AM2,BM2三者之间满足的等量关系,并证明你的结论. (1)解:∵ ,∴∠ACB=∠ADB=45°. ∵∠ABD=45°,∴∠BAD=90°. ∴BD是△ABD外接圆的直径. (2)证明:在CD的延长线上截取DE=BC,连接EA,如答图4-39-6. ∵∠ABD=∠ADB,∴AB=AD. ∵∠ADE+∠ADC=180°,∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADE. 在△ABC与△ADE中,∴△ABC≌△ADE(SAS). ∴∠BAC=∠DAE. ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD. ∴∠BAD=∠CAE=90°. ∵ ,∴∠ACD=∠ABD=45°. ∴△CAE是等腰直角三角形. (3)解:BM2+2AM2=DM2.证明:如答图4-39-7,过点M作MF⊥MB于点M,过点A作AF⊥MA于点A,MF与AF交于点F,连接BF. 由对称性可知∠AMB=∠ACB=45°,∴∠FMA=45°. ∴△AMF是等腰直角三角形. ∴AM=AF,MF= AM. ∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB,∴∠FAB=∠MAD. 在△ABF与△ADM中,∴△ABF≌△ADM(SAS). ∴BF=DM. 在Rt△BMF中,BM2+MF2=BF2,∴BM2+2AM2=DM2. 2. (2016深圳)如图4-39-9,已知⊙O的半径为2,AB为直径,CD为弦. AB与CD交于点M,将 沿CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至点P,使AP=OA,连接PC.(1)求CD的长;(2)求证:PC是⊙O的切线;(3)点G为 的中点,在PC的延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E. 交 于点F(F与B,C不重合). 问GE·GF是否为定值,如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由. 4-39-84-39-93. (2016长沙)如图4-39-10,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF. (1)求∠CDE的度数;(2)求证:DF是⊙O的切线;(3)若AC= DE,求tan∠ABD的值. (1)解:∵对角线AC为⊙O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠CDE=90°. (2)证明:如答图4-39-10,连接DO. ∵∠EDC=90°,点F为EC的中点,∴DF=FC. ∴∠FDC=∠FCD. ∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD. ∵∠OCF=90°,∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD=90°. ∴DF是⊙O的切线. (3)解:∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,∴∠E =∠DCA. 又∵∠CDE=∠ADC=90°,∴△CDE∽△ADC. ∴ ∴DC2=AD·DE. ∵AC= DE,∴设DE=x,则AC= x,则AC2-AD2=AD·DE,即( x)2-AD2=AD·x. 整理,得AD2+AD·x-20x2=0. 解得AD=4x或AD=-5x(负数不合题意,舍去). 4. (2016黔南州)如图4-39-11,AB是⊙O的直径,点D 一点,且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于点F. (1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:DE2=DF·DB;(3)在(2)的条件下,延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长. (1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°. ∴∠EAB+∠ABE=90°. ∵∠EAB=∠BDE,∠BDE=∠CBE. ∴∠CBE+∠ABE=∠EAB+∠ABE=90°,即∠ABC=90°. ∴AB⊥BC. ∴BC是⊙O的切线. (2)证明:∵BD平分∠ABE,∴∠EBD=∠DBA. 而∠DBA=∠AED,∴∠AED=∠EBD. ∵∠FDE=∠EDB,∴△DFE∽△DEB. ∴ ∴DE2=DF·DB. (3)如答图4-39-11,连接DO. ∵OB=OD,∴∠DBA=∠ODB. 而∠EBD=∠DBA,∴∠ODB=∠EBD. ∴OD∥BE.∴△POD∽△PBE. ∵PA=AO,∴PA=AO=BO. 解得PD=4.考点类型4 三角形综合题 巩固训练1. (2016梅州)如图4-39-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5 cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t s(0≤t≤5),连接MN. (1)若BM=BN,求t的值;(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值. 4-39-122. (2016成都)如图4-39-13①,△ABC中,∠ABC=45°,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连接BD. (1)求证:BD=AC;(2)将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),连接AE. 如图4-39-13②,当点F落在AC上时,(F不与C重合),若BC=4,tanC=3,求AE的长.解:(1)在Rt△AHB中,∠ABC=45°,∴AH=BH. 在△BHD和△AHC中,∴△BHD≌△AHC. ∴BD=AC. (2)在Rt△AHC中,设CH=x,则BH=AH=3x. ∵BC=4,∴3x+x=4. ∴x=1. ∴AH=3,CH=1. 由旋转可得∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,∴△EHA∽△FHC. ∴∠EAH=∠C. ∴tan∠EAH=tanC=3. 如答图4-39-13,过点H作HP⊥AE于点P. ∴HP=3AP,AE=2AP. 在Rt△AHP中,AP2+HP2=AH2,∴AP2+(3AP)2=9. 3. (2016威海)如图4-39-14,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD. 延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC. 连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N. (1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF;(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由. (1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠ABF=135°.∵∠BCD=90°,∴∠ABF=∠ACD.∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.在△ABF和△ACD中,∴△ABF≌△ACD(SAS).∴AD=AF.(2)证明:由(1)知,△ABF≌△ACD,∴∠FAB=∠DAC.∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°.∴∠EAF=∠BAD.在△AEF和△ABD中,∴△AEF≌△ABD(SAS).∴BD=EF.(3)解:四边形ABNE是正方形.理由如下:∵CD=CB,∠BCD=90°,∴∠CBD=45°.又∵∠ABC=45°,∴ABD=90°.由(2)知,∠EAB=90°,△AEF≌△ABD,∴∠AEF=∠ABD=90°.∴四边形ABNE是矩形.又∵AE=AB,∴四边形ABNE是正方形.4. (2016抚顺)如图4-39-15,在△ABC中,BC>AC,点E在BC上,CE=CA,点D在AB上,连接DE,∠ACB+∠ADE=180°,作CH⊥AB,垂足为点H. (1)如图2-5-15①,当∠ACB=90°时,连接CD,过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F. ①求证:FA=DE;②请猜想三条线段DE,AD,CH之间的数量关系,并证明;(2)如图2-5-15②,当∠ACB=120°时,三条线段DE,AD,CH之间存在怎样的数量关系?请证明你的结论. (1)①证明:∵CF⊥CD,∴∠FCD=90°. 又∵∠ACB=90°,∴∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCE. ∴∠FCA=∠DCE. ∵∠ACB+∠ADE=180°,∴∠ADE=∠BDE=90°. ∵∠FAC=90°+∠B,∠CED=90°+∠B,∴∠FAC=∠CED. 又∵AC=CE,∴△AFC≌△EDC(ASA). ∴FA=DE. ②解:DE+AD=2CH. 证明:∵△AFC≌△EDC,∴CF=CD. ∵CH⊥AB,∴FH=HD. 在Rt△FCD中,CH是斜边FD的中线,∴FD=2CH. ∴AF+AD=2CH. ∴DE+AD=2CH. (2)解:AD+DE= CH. 证明:如答图4-39-14,作∠FCD=∠ACB,交BA延长线于点F. ∵∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCB,∴∠FCA=∠DCB. ∵∠ACB+∠ADE=180°,∴∠ADE=60°. ∴∠EDB=120°. ∵∠FAC=120°+∠B,∠CED=120°+∠B,∴∠FAC=∠CED. 又∵AC=CE,∴△FAC≌△DEC(ASA). ∴AF=DE,FC=CD. ∵CH⊥FD,∴FH=HD,∠FCH=∠HCD=60°. 在Rt△CHD中,tan60°=∴AD+DE=AD+AF=FD=2DH= CH,即AD+DE= CH.考点类型5 四边形综合题 巩固训练1. (2016营口)已知:如图4-39-16①,将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开,将△ADC沿射线DC方向平移,得到△BCE,点M为边BC上一点(点M不与点B,点C重合),将射线AM绕点A逆时针旋转60°,与EB的延长线交于点N,连接MN. (1)①求证:∠ANB=∠AMC;②探究△AMN的形状;(2)如图4-39-16②,若菱形ABCD变为正方形ABCD,将射线AM绕点A逆时针旋转45°,原题其他条件不变,(1)中的①②两个结论是否仍然成立?若成立,请写出结论并说明理由;若不成立,请写出变化后的结论并证明. 证明:(1)①∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD. ∵∠D=60°,∴△ADC和△ABC都是等边三角形. ∴AB=AC,∠BAC=60°. ∵∠NAM=60°,∴∠NAB=∠CAM. 由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE,可知∠CBE=60°. ∵∠ABC=60°,∴∠ABN=60°. ∴∠ABN=∠ACB=60°. ∴△ANB≌△AMC(ASA). ∴∠ANB=∠AMC. ②△AMN是等边三角形. 理由如下:由(1)知△ANB≌△AMC,∴AM=AN. ∵∠NAM=60°,∴△AMN是等边三角形. (2)结论①∠ANB=∠AMC成立. 理由如下:在正方形ABCD中,∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°,∵∠NAM=45°,∴∠NAB=∠MAC. 由平移,得∠EBC=∠CAD=45°. ∵∠ABC=90°,∴∠ABN=180°-90°-45°=45°. ∴∠ABN=∠ACM=45°. ∴△ANB∽△AMC. ∴∠ANB=∠AMC. 结论②△AMN是等边三角形不成立,△AMN是等腰直角三角形. 证明:∵△ANB∽△AMC,∵∠NAM=∠BAC=45°,∴△NAM∽△BAC. ∴∠ANM=∠ABC=90°. 又∵AN=AM,∴△AMN是等腰直角三角形. 2. (2016常德)如图4-39-17,已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过点A作AH⊥CD于点H交BE于点F. (1)如图2-5-17①,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;(2)如图2-5-17②,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论. (1)证明:①∵AB⊥AD,AE⊥AC,∴∠BAD=90°,∠CAE=90°. ∴∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,∴△ABC≌△ADE(SAS). ②∵△ABC≌△ADE,∴∠ACB=∠AED. 在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,∴∠BCE=90°. ∵AH⊥CD,AE=AC,∴CH=HE. ∵∠AHE=∠BCE=90°,∴BC∥FH. (2)解:结论仍然成立.证明:如答图4-39-15所示,过E作MN∥AH,分别交BA,CD延长线于点M,N. ∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°. ∴∠2=∠CAD. ∵MN∥AH,∴∠3=∠HAE. ∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,∴∠ACH=∠HAE. ∴∠3=∠ACH. 在△MAE和△DAC中,∴△MAE≌△DAC(ASA). ∴AM=AD. ∵AB=AD,∴AB=AM. ∵AF∥ME, ∴BF=EF. 3. (2016甘孜州)如图4-39-18①,AD为等腰直角△ABC的高,点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上,连接BG,AE. (1)求证:BG=AE;(2)如图4-39-18②,将正方形DEFG绕点D旋转,当线段EG经过点A时,①求证:BG⊥GE;②设DG与AB交于点M,若AG∶AE=3∶4,求 的值. (1)证明:∵AD为等腰直角△ABC的高,∴AD=BD. ∵四边形DEFG为正方形,∴∠GDE=90°,DG=DE. 在△BDG和△ADE中,∴△BDG≌△ADE(SAS). ∴BG=AE. (2)①证明:如答图4-39-16,连接AD. ∵四边形DEFG为正方形,∴△DEG为等腰直角三角形. ∴∠DGE=∠DEG=45°. 由(1),得△BDG≌△ADE,∴∠BGD=∠DEG=45°. ∴∠DGE+∠BGD=45°+45°=90°,即∠BGE=90°. ∴BG⊥GE. 4. (2016黔南州)如图4-39-19,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O,A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥AO,交BO于点N,连接ND,BM,设OP=t. (1)求点M的坐标(用含t的代数式表示);(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变,并说明理由; (3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小;(4)在x轴正半轴上存在点Q,使得△QMN是等腰三角形,请直接写出不少于4个符合条件的点Q的坐标(用含t的式子表示). 解:(1)如答图4-39-17所示,作ME⊥OA于点E. ∴∠MEP=∠POC=90°. ∵PM⊥CP,∴∠CPM=90°. ∴∠OPC+∠MPE=90°. 又∵∠OPC+∠PCO=90°,∴∠MPE=∠PCO. ∵PM=CP,∴△MPE≌△PCO(AAS). ∴PE=CO=4,ME=PO=t. ∴OE=4+t. ∴点M的坐标为(4+t,t)(0<t<4). (2)线段MN长度不变. 理由如下:∵OA=AB=4,∴点B(4,4). ∴直线OB的解析式为y=x. ∵点N在直线OB上,∴点N(t,t). ∵MN∥OA,M(4+t,t),∴MN=|(4+t)-t|=4,即MN的长度不变. (3)由(1)知,∠MPE=∠PCO,又∵∠DAP=∠POC=90°,∴△DAP∽△POC. ∵OP=t,OC=4,∴AP=4-t. ∵MN∥OA,AB⊥OA,∴MN⊥BD. ∴当t=2时,四边形BNDM的面积最小,最小值为6. (4)在x轴正半轴上存在点Q,使得△QMN是等腰三角形,此时点Q的坐标为:考点类型6 图形运动与变换型综合题 巩固训练1. (2016广东)如图4-39-20,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA,QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为点O,连接OA,OP. (1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形;(2)请判断OA,OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值. 解:(1)四边形APQD为平行四边形. (2)OA=OP,OA⊥OP.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°. ∵OQ⊥BD,∴∠PQO=45°. ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°. ∴OB=OQ. 在△AOB和△OPQ中,AB=PQ,∴△AOB≌△OPQ(SAS).∴OA=OP,∠AOB=∠OPQ. ∴∠AOP=∠BOQ=90°. ∴OA⊥OP. (3)过点O作OE⊥BC于点E.①如答图4-39-18,当点P在点B右侧时,又∵0≤x≤2,∴当x=2时,y有最大值为2;②如答图4-39-19,当点P在点B左侧时,2. (2015广东)如图4-39-21,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起,使斜边AC完全重合,且顶点B,D分别在AC的两旁,∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=30°,AB=BC=4 cm.(1)填空:AD=________(cm),DC=________(cm);(2)点M,N分别从A点,C点同时以每秒1 cm的速度等速出发,且分别在AD,CB上沿A→D,C→B方向运动,求当M,N点运动了x秒时,点N到AD的距离(用含x的式子表示);(3)在(2)的条件下,取DC的中点P,连接MP,NP,设△PMN的面积为y(cm2),在整个运动过程中,△PMN的面积y存在最大值,请求出y的最大值.解:(2)过点N作NE⊥AD于点E,作NF⊥DC,交DC的延长线于点F,如答图4-39-20所示,则NE=DF,∵∠ABC=∠ADC=90°,AB=BC,∠CAD=30°,∴∠ACB=45°,∠ACD=60°.∴∠NCF=180°-45°-60°=75°,∠FNC=15°.3. 已知:如图4-39-22①,在Rt△ABC中,AB⊥AC,AB=3 cm,BC=5 cm,将△ABC绕AC中点旋转180°得到△CDA.如图4-39-22②. 再将△CDA沿AC的方向以1 cm/s的速度平移得到△NDP;同时,点Q从点C出发,沿CB方向以1 cm/s的速度运动,当△NDP停止平移时,点Q也停止运动,设运动时间为t(s)(0<t<4). 解答下列问题:(1)当t为何值时,PQ∥AB?(2)设△PQC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使S△QDC∶S四边形ABQP=1∶4?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由; (4)是否存在某一时刻t,使PQ⊥DQ?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由. 4-39-214. (2015潍坊)如图4-39-23①,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.(1)求证:DE⊥AG;(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′,如图2-5-23②.①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.解:(1)如答图4-39-22,延长ED交AG于点H.∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,∴OA=OD,OA⊥OD.在△AOG和△DOE中,∴△AOG≌△DOE(SAS).∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠GAO+∠DEO=90°.∴∠AHE=90°,即DE⊥AG.(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:Ⅰ. α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时,∴∠AG′O=30°.∵OA⊥OD,OA⊥AG′,∴OD∥AG′.∴∠DOG′=∠AG′O=30°,即α=30°.Ⅱ. α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时,如答图4-39-23,同理可求得∠BOG′=30°,∴α=180°-30°=150°.综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.②当旋转到A,O,F′在一条直线上时,AF′的长最大,最大值为 ,此时α为315°. 广东中考总复习 数学第四部分 中考题型攻略 课时39 解答题(三)题型 题型解读  解答题(三)是广东中考数学试卷中的最后一种题型,也是难度最大的一种题型,通常是由三道包含多个知识点的几何与代数综合题组成. 解此类问题要求学生具备扎实的基础知识和熟练的解题技能. 通过对广东中考命题规律的分析,我们发现解答题(三)的常见题型有一次函数与反比例函数综合题、二次函数综合题、圆的综合题、三角形综合题、四边形综合题等类型. 在复习备考时,需要同学们针对各种类型的综合题进行强化训练,不断提高自己分析与解决问题的能力,积累做题经验,争取在本大题上取得最为理想的成绩. 分类突破考点类型1 一次函数与反比例函数综合题 巩固训练1. (2016茂名)如图4-39-1,一次函数y=x+b的图象与反比例函数 (k为常数,k≠0)的图象交于点A(-1,4)和点B(a,1). (1)求反比例函数的表达式和a,b的值;(2)若A,O两点关于直线l对称,请连接AO,并求出直线l与线段AO的交点坐标. 解:(1)∵点A(-1,4)在反比例函数 (k为常数,k≠0)的图象上,∴k=-1×4=-4.∴反比例函数解析式为把点A(-1,4),B(a,1)分别代入y=x+b中,得(2)连接AO,设线段AO与直线l相交于点M,如答图4-39-1所示. ∵A,O两点关于直线l对称,∴点M为线段OA的中点.∵点A(-1,4),O(0,0),∴点M的坐标为∴直线l与线段AO的交点坐标为2. (2016重庆)如图4-39-2,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图形与反比例函数 (k≠0)的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与y轴交于C点,过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH=3,tan∠AOH= ,点B的坐标为(m,-2). (1)求△AHO的周长;(2)求该反比例函数和一次函数的解析式. 解:(1)由OH=3,tan∠AOH= ,得AH=4,即
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