3.7 切线长定理

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1、第三章圆3.7切线长定理长安三中李海荣一、学情分析学生已经学习了切线的定义、判定与性质、圆的对称性，学习过程不会很困难，但书写证明过程有一定的难度。并具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力，学习过程将在轻松、愉悦的氛围中进行。二、教学目标1、知识与技能①使学生理解切线长定义.。②使学生掌握切线长定理，并能初步运用。2、过程与方法学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。3、情感态度与价值观通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功。三、教学重难点1、重点：切线长定理及其运用。2、难点：边线

2、长定理的证明及运用。四、教法学生1、教法：采用启发式、探究式、情境教学的教法。2、学法：学生通过动手实践、观察并发现新知，真正成为数学学习的主人。3、资源：多媒体及教具。五、教学过程（一）创设情景，引入新课问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷纭,可能会利用90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答,哪一种方法更好呢?ABOPCDABOP教师引导学生发现A、B分

3、别为⊙O与PA、PB的切点，连结OB,OA,则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB.如果这根尺子的夹角不是90°，是否还能得到PA=PB？（二）合作学习，探究新知1、切线长定义①板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长②在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA）（2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）（3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的

4、长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？（4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学.2、切线长定理：探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段PA和PB的长度；（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；（5）在图3中还能得出哪些结论？并把它们归类.（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？学生自主探索，合作交流，证明且归纳：过圆外一点画圆的两

5、条切线，它们的切线长相等，这就是切线长定理。指出切线和切线长区别.切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离。拓展：（1）图3是轴对称图形吗？如图4，连结图3中的两个切点AB交OP于点C，OP所在的直线交⊙O于点D、E，又能得出什么结论？并把它们分类.（2）如图5，已知⊙O的两条切线互相平行，A、B两点为切点，如果连接两切点AB，则AB是⊙O的直径吗？数学来源于生活，又应用于生活，请同学们再思考下，它们在我们的日常生活中各有什么应用？答：⑴图3是轴对称图形，连接AB，结论①△PAB是一个等腰三角形，并且存在等腰三角形的三线合一定理.②AB⊥OP

6、，出现了圆的垂径定理.⑵AB是⊙O的直径.我们的日常生活中,球放在墙角，V形架中放入一个圆球等.如图7可以应用于解决日常生活中测量球体的直径.（4）如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.（5）老师有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能最大？答：只要作出这个三角形的内切圆便是这个三角形中取出的用料.活动目的：此环节让学生指出切线长定理的题设和结论，并让学生熟练掌握定理的三种几何语言（符号语言、文字语言、图形语言）的表示.学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，

7、利用对称性还可得到更多的边等、角等、弧等的结论.接着让学生观察三角形的内切圆从而发现其中也存在切线长定理.问题的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学.最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题，提高他们数学的应用意识和解决问题的能力.3、圆的外切四边形的性质.请同学们