证明线段相等专题

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1、北师大版八年级（下）数学专题——证明线段相等一、教学目标：知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等，利用三角形中位线，利用平行四边形证明线段相等的基本方法.过程与方法：使学生在根据边的位置关系确定证明线段等的方法过程中，体验证明线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，

2、获得不同的发展.二、教学重点：掌握根据线段位置关系确定证明线段相等的基本方法.教学难点：分析图形的形状特征，分割图形中的基本图形，认识线段的位置关系，确定证明方法.三、教学用具：三角板、学案等四、教学过程：（一）引入：相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中一.证明两线段是全等

3、三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。例1.如图，B、C、D在一直线上，△ABC与△ECD都是等边三角形，BE、AD分别交AC、EC于点G、F。（1）求证：AE=BD（2）求证CG=CFACBDPQ例2．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相

4、等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例3.如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.（1）求证：AG=C′G；三、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c例4.如图，梯形中，∥，分别以两腰为边向两边作正方形和正方形，联结，设线段的中点为．求证：．第3题图四、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或

5、看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。例四．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。证明：过D作DO⊥AC交AB于点O∵OD垂直平分AC，∠ACB=90°∴BC⊥AC∴O点必为AB的中点，连结EO，则EO⊥AB∵∠CAB=30°，∠BAE=∠CAD=60°∴AD⊥AB，AE⊥AC∴OE//AD，AE//OD∴四边形ODAE为平行四边形∴EF=FD例五．如图，AD是△ABC的中线，过DC上任意

6、一点F作EG//AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH//AC，交AB于点H。求证：HG=BE。证明：延长AD到A”，使DA”=AD又∵BD=CD∴四边形BACA”是平行四边形∴BA=A”C由题设可知HFGA也是平行四边形∴HF=AG∵HF//AC，∴又∵，HF=AG，BA=A”C∴BH=EG∴四边形BEGH是平行四边形∴HG=BE五．、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。［例6］如图，以△ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE

7、，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中点。证明：DM=EM。证明：延长BD至F，使DF=BD。延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BG∵BD=FD，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD∴Rt△ABD≌Rt△AFD∴∠BAD=∠FAD同理可得：∠CAE=∠GAE∵∠ABD=∠ACE∴∠FAB=∠GAC，故∠FAC=∠GAB在△ABG和△AFC中，AB=AF，∠GAB=∠CAF，AG=AC∴△ABG≌△AFC∴BG=FC又∵DF=DB，EC=EG，M是BC的中点∴DM==EM，即D

8、M=EM六、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。例六．如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。人；该班本次竞赛成绩的平均数为