怎样证明两线段相等与两角相等

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1、怎样证明两线段相等与两角相等【重点解读】证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程.解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.⒈怎样证明两线段相等证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：⑴三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；④线段中垂线性质：线段

2、垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；⑵证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；⑶圆①同圆或等圆的半径相等；②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；④从圆外一点引圆的两条

3、切线，它们的切线长相等；⑷等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等.⒉怎样证明两角相等证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：⑴同角（或等角）的余角、补角相等；⑵证明两直线平行，同位角、内错角相等；⑶到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；⑷全等三角形、相似三角形的对应角相等；⑸同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；⑹平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等；⑺同圆中，同弧或等弧所对的圆周

4、角、圆心角相等；⑻弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑼从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；⑽圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角；⑾通过计算证明两角相等；⑿等量代换，等式性质.【典题精析】例1已知：如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BE＝DF，连结EC、FC．求证：EC＝FC．分析一要证明EC＝FC，可通过证明△BCE≌△DCF，条件为边角边证明一∵菱形ABCD，∴BC=DC，∠ABC=∠ADC，例1图∴∠CBE=∠CDF(等角的补角相等)又∵BE＝DF，∴△BCE≌△DCF，∴EC＝FC.分析二连

5、结AC，证明△ACE≌△ACF，条件也为边角边证明二连结AC，∵菱形ABCD，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，（菱形的对角线平分一组对角）∵BE=DF∴AE=AF（等式性质），又AC=AC∴△ACE≌△ACF，EC＝FC.通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.例2已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF

6、，与直线CD交于点G.求证：⑴∠ACD=∠F；⑵AC2=AG·AF.分析要证明∠ACD=∠F，可通过角之间的转化，已知中AB是⊙O的直径是关键的条件，连结BC，得∠ACB=90°，∠ACD=∠B（直角三角形母子三角形中的对应角相等），∠F=∠B，（同弧所对的圆周角相等）.证明：⑴连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），即∠ACD+∠DCB=90°∵CD⊥AB∴∠DCB+∠B=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）∵∠F=∠B，∴∠ACD=∠F（等量代换）.⑵略证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与

7、它们都相关或都有联系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.例3已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，且∠ADE=∠BDC.⑴求证：△ABC为等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.分析条件∠ADE=∠BDC的转化：∠ADE=∠ABC，（圆的内接四边形的外角等于内对角）∠BDC=∠BAC（同弧所对的圆周角相等），可得∠ABC=∠BAC，△ABC为等腰三角形.证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE=∠AB

8、C，∵∠BDC=∠BAC，又∵∠ADE=∠BDC∴∠ABC=∠BAC∴CA=CB（等角对等边）