高中数学等比数列的前n项和人教版必修

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1、等比数列的前n项和1．记住等比数列的前n项和公式，能够利用公式求等比数列的前n项和．2．掌握前n项和公式的推导方法．课前自主学习1．在等比数列{an}中，若公比q＝1，，则其前n项和Sn＝________.答案：na12．在等比数列{an}中，若公比q≠1，则其前n项和Sn＝________＝________.自学导引1．等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？自主探究当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S

2、1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．2．数列a，a2，a3，…，an，…一定是等比数列吗？答案：不一定，例如当a＝0时，数列就不是等比数列．1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为()预习测评解析：要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n.答案：D2．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－2992．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299答案：C3．若等比数列{an}的前3项的和为13，首项为1，则其公比为__________．答

3、案：3或－4答案：1课堂讲练互动1．等比数列前n项和公式的推导设等比数列a1，a2，a3，…，an，…它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.由等比数列的通项公式可将Sn写成Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①①式两边同乘以q得，qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn.②①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，由此得q≠1时，要点阐释当q＝1时，Sn＝na1.以上的推导方法叫做“错位相减法”．这是中学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会．特别提示：(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其中任意三

4、个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量，俗称“知三求二”．(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为q≠1，当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论q≠1与q＝1两种情况．2．等比数列的判定方法(1)an＋1＝anq(an≠0，q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．(2)an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)an＋12＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．题型一　等比数列前n项和公式的基本运算典例剖析【例1】在等比数列{

5、an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.方法点评：(1)这是一类基础题，要熟练应用等比数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项a1和公比q.在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的思想．(2)在使用等比数列的前n项和公式时，要注意讨论公比q＝1和q≠1两种情况．1．若本例(1)中的条件不变，如何求{an}的通项公式？题型二　错位相减法求和2．求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3

6、＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1题型三　判断等比数列【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝a2n－1(a≠0，±1；n∈N*)，试判断{an}是否为等比数列，为什么？解：{an}是等比数列，理由如下：a1＝S1＝a2－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a2n－1)－(a2n－2－1)＝(a2－1)a2n－2，此时，n＝1时，a1＝a2－1.∴数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)a2n－2(n∈N*)．即数列{an}是首项为a2－1，公比为a2的等比数列．方法点评：将已知条件Sn＝a2n－1与an＝S

7、n－Sn－1结合起来，得到n≥2时的通项公式an＝(a2－1)a2n－2，特别注意的是，n＝1时即a1＝a2－1能否统一到an＝(a2－1)·a2n－2中去，如果能统一起来，则数列{an}为等比数列，否则数列{an}不是等比数列．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．误区解密　漏掉q＝1而导致错误【例4】在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)求{an}的前n项和Sn.错因分析：等比数列求和，一定要注意公比是否等于1，否则将导致错误．课堂总结2．在等比数列中的五个量Sn，n，a1