资源描述：
《线代试题与答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、天津工业大学（2011—2012学年第2学期）《线性代数模拟试卷》(2012.6理学院)一、填空1、设为3阶方阵，为其伴随矩阵，且，则解：2、设为3阶方阵，，，则解：3、设矩阵则，则解：，4、设矩阵则，则解：，5、已知3维向量,,且行列式=,则行列式=;向量组{,}的秩=;答案：6、已知3维向量,,且行列式=,则行列式=;向量组{,}的秩=;答案：1、阶矩阵有特征值，则的特征值为，.解：，2、阶矩阵的特征值为，则的特征值为，答案：，3、若阶矩阵有特征值，则的特征值为,矩阵的行列式答案：，4、设矩阵为正交矩阵，则，.答案：5、当时，答案：6、设是的基础解系，
2、为的一个解向量，则，向量组必线性；答案：，无关7、设是的基础解系，为的个列向量，若，则方程组的通解为答案：，其中为任意常数14、设阶矩阵的各行元素之和均为零，且则的通解为答案：，（）15、设为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A*x=0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解.因为矩阵A的秩,所以,A*x=0的基础解系所含解向量的个数为4－0=4.16、设a1,a2,…as是非齐次线性方程组的解,若C1a1+C2a2+…+Csas也是的一个解,则C1+C2+…+Cs=______.解.因为(C1a1+C2a2+…+Cs
3、as),所以,.一、计算行列式1、解：2、计算解答：3、提示：含零元素较多的两条线行列式，可按行（列）展开.解：按第一列展开得三、抽象矩阵求逆1、证明：可逆，并求答案：，2、已知矩阵满足，证明：（1）可逆，并求（2）可逆，并求（3）可逆，并求（2）可逆，并求解答：易有，所以，所以，所以，所以，所以四、解矩阵方程1、,且，求.解：存在等式两边同时右乘，则原式变形为即2、且，求.解：存在等式两边同时右乘，左乘则原式变形为即注：不易求，但却容易求。3、已知矩阵的伴随矩阵，且，求.解：等式两边同时右乘，左乘则原式变形为即五、求向量组，，，，的秩及其最大无关组，将其
4、余向量用该最大无关组线性表示.解：对以为列构成的矩阵进行行初等变换，得所以，为该向量组的极大无关组，且六、求线性方程组的通解取何值时，线性方程组①无解？②有唯一解？③有无穷解？并写出通解.解：当即且时，方程组有唯一解当时，或，，方程组无解，，方程组有无穷解通解为：七、设有二次型（1）写出二次型的矩阵表达式。（2）求一个正交变换，使二次型在正交变换下化成的标准形，并写出标准形解：（1）二次型的矩阵形式为（2）所以的特征值为，，可求得对应的特征向量分别为：对应的特征向量为，对应的特征向量为将正交化并规范化得则正交变换阵为，化原二次型为.八、特征值与特征向量1、
5、设为三阶实对称矩阵，且满足，已知向量,,是对应特征值的特征向量，求，其中为自然数。t解：由得，故有特征值又对应特征值的特征向量有两个，故特征值为对应，可求得特征向量，所以2、设矩阵，，求的特征值与特征向量，其中为的伴随矩阵，为3阶单位矩阵.分析：可先求出，进而确定及，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出的特征值与特征向量，再相应地确定的特征值与特征向量，最终根据与相似求出其特征值与特征向量.解法一：经计算可得，从而，，故的特征值为当时，解，得线性无关的特征向量为，所以属于特征值的所有特征向量为，其中是不全为零的任意常数.当时，解，得线性无关的特征向
6、量为，所以属于特征值的所有特征向量为，其中为任意常数.方法二：设的特征值为，对应特征向量为，即.由于，所以又因，故有.于是有，因此，为的特征值，对应的特征向量为.由于，故的特征值为当时，对应的线性无关特征向量可取为，当时，对应的一个特征向量为由，得，，.因此，的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为，其中是不为零的任意常数.注：设，若是的特征值，对应特征向量为，则与有相同的特征值，但对应特征向量不同，对应特征值的特征向量为.3、（2011研）A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求（
7、1）A的特征值与特征向量（2）矩阵A答案：（1）A的特征值为，所对应的特征向量为，，因为A的秩为2，所以A的另外一个特征值为，又因为A为3阶实对称矩阵，其特征向量两两正交，所以特征值为对应的特征向量为（2）4、设三阶对称矩阵的特征向量值，是的属于的一个特征向量，记，其中为3阶单位矩阵.（I）验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；（II）求矩阵.【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I），则是矩阵的属于－2的特征向量.同理可得，.所以的全部特征值为2，1，1设的属于1的特征向量为，显然为对称矩阵，所以根据不同特征值所对
8、应的特征向量正交，可得.即，解方程组可得的属于1的特征向量，其中为
