高二数学名师一号

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1、3.2.3空间角与距离的向量方法自学导引(学生用书P84)通过本节的学习掌握直线和平面所成的角的概念,二面角的有关概念,并能求直线与直线所成的角,直线与平面所成的角及二面角的大小.了解空间距离的有关概念及简单运算.课前热身(学生用书P84)1.空间角(1)两条异面直线所成的角的范围是________,其大小可以通过这两条异面直线的________的夹角来求.若设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量的夹角为φ,则有________.方向向量cosθ=

2、cosφ

3、(2)直线和平面所成的角是指这条

4、直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是________,直线和平面所成的角为θ,直线的方向向量与平面的法向量的夹角为φ,则有________.(3)二面角的大小就是指二面角的平面角的大小,其范围是________,二面角的平面角的大小(或其补角的大小)可以通过两个平面的法向量的________求得.sinθ=

5、cosφ

6、[0,π]夹角2.空间距离(1)空间中两点间的距离公式:若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,y2),则

7、P1P2

8、=________.(2)点面距离的求法:如图,

9、设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则点B到平面α的距离d=________.名师讲解(学生用书P84)1.空间角公式(1)异面直线所成角公式:设a,b分别是异面直线l1、l2上的方向向量,θ为异面直线所成的角,则有cosθ=

10、cos

11、=(2)线面角公式:设l为平面α的斜线,a为l的方向向量,n为平面α的法向量,θ为l与α成的角,则有sinθ=

12、cos

13、=(3)二面角公式:设n1,n2分别为平面α、β的法向量.二面角为θ,则θ=或θ=π-

14、(根据具体情况判断相等或互补).其中cosθ2.空间距离(1)点面距离公式:P为平面α外一点,过点P的斜线交α于A,设n为平面α的法向量,d为P到α的距离,则有(2)线面距离、面面距离都可以转化为点面距离.典例剖析(学生用书P84)题型一直线与平面所成的角例1:正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为求AC1与侧面ABB1A1所成的角.分析:建立适当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,利用AC1与其在面ABB1A1内的射影所成的角来求或利用面ABB1A1的法向量来求.规律技巧:充分利

15、用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量有关知识求解线面角.方法2给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线夹角,再进行转化.变式训练1:如图所示,ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=.求:SC与平面ABCD所成角的正弦值.题型二二面角的求法例2:在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.分析:可建立空间直角坐标系,求出两个平面的法

16、向量,通过法向量的夹角进行求解.变式训练2:正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1、A1C1的中点.求:(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值;(2)二面角C-AE-F的余弦值的大小.题型三空间距离问题例3:如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABCOA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;(2)求点B到平面OCD的距离.分析:解答本题可先利用图形条件建立坐标系,再利用所成角求异面直线所成角,利用公式求点面距

17、.解:作AP⊥CD于点P.如图所示,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(1,0,0),变式训练3:已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,CG垂直于ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离.技能演练(学生用书P86)基础强化答案:B答案:B3.平面α与平面β交于l,自一点P分别向两个面引垂线,垂足分别为A、B,则∠APB与α、β夹角的大小关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定解析:当点P在平面

18、α、β夹角的内部时,∠APB与平面α、β夹角互补;当点P在平面α、β夹角的外部时,∠APB与平面α、β的夹角相等.答案:C答案:A答案:C6.△ABC的边BC在平面α内,顶点A∉α,△ABC边BC上的高与平面α所夹的角为θ,△ABC的面积为S,则△ABC在平面α上的投影图形面积为________.答案:Scosθ解析:△ABC在平面α内的投影三角形为A′BC,它的高A′D=ADcosθ(AD为△ABC的高),∴S△A′BC=·BC·A′D=BC·ADcosθ=Scosθ.7.给出四个命题:①