高二数学名师一号2-1课件3.2.1

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1、§3.2立体几何中的向量方法3.2.1直线的方向向量与平面的法向量自学导引(学生用书P77)1.会用向量表示空间中的点、直线和平面的位置.2.掌握用向量表示线、面之间的位置关系.课前热身(学生用书P77)1.直线的方向向量是指和这条直线__________________的向量,一条直线的方向向量有__________个.2.平面的法向量是指和这个平面__________的直线的__________向量,一个平面的法向量有__________个.所对应的向量平行无数垂直方向无数3.若直线的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α的法向量v=(a2,b2,c2).(1)l∥

2、α或lα⇔u⊥v⊂⇔____________⇔____________.(2)l⊥α⇔u∥v⇔_____________⇔________________.u·v=0a1a2+b1b2+c1c2=0u=kva1=ka2,b1=kb2,c1=kc2名师讲解(学生用书P77)1.空间点、线、面的位置(1)在空间中,任取一个定点O为基点,那么空间任一点P的位置可由向量来表示.如图(1)(2)空间任一直线l的位置可由l上一个定点A以及一个方向来确定,如图(2),点A∈l,向量a表示直线l的方向向量,则对于直线l上的任意一点P,有图(2)(3)空间中平面α的位置可由α内两条相交直线来

3、确定,如图(3).设这两条直线相交于O点,它们的方向向量分别为a,b,P为平面上任意一点,由平面向量基本定理知,存在有序实数对(x,y),使得图(3)2.利用空间向量解决立体几何问题的一般方法(1)先利用空间向量表示空间点、直线、平面等元素,建立立体图形和空间向量的联系;(2)进行空间向量的运算;(3)由向量运算结果回归几何结论.3.求平面的法向量的方法步骤(1)建立适当的坐标系;(2)设平面的法向量为n=(x,y,z);(3)求出平面内两个不共线的向量a=(a1、b1、c1),b=(a2,b2,c2);典例剖析(学生用书P77)题型一判断线与线、面与面的位置关系例1:解答下

4、列问题:(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的位置关系.①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);②a=(5,0,2),b=(0,4,0);(2)设u,v分别是平面α、β的法向量,根据下列条件判断α、β的位置关系.规律技巧:(1)直线的方向向量与直线位置关系间的内在联系是:l1∥l2⇔a∥b,l1⊥l2⇔a⊥b,据此可以判断两直线的位置关系.(2)平面法向量与两平面位置关系间的内在联系是:α∥β⇔u∥v,α⊥β⇔u⊥v,据此判断两平面的位置关系.变式训练1:(1)直线l1、l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),判

5、断直线l1与l2的位置关系;(2)已知平面α、β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0),判断α与β的位置关系.题型二判断直线与平面的位置关系例2:设u是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,根据下列条件判断α和l的位置关系:(1)u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);(2)u=(0,2,-3),a=(0,-8,12);(3)u=(4,1,5),a=(2,-1,0).解:(1)∵u=(2,2,-1),a=(-3,4,2),∴u·a=2×(-3)+2×4+(-1)×2=0,∴u⊥a,∴直线l和平面α的位置关系是l⊂α或l∥α.规律技巧:直线方向向量与

6、平面法向量的关系和直线与平面位置关系之间的内在联系是:l∥α或l⊂α⇔a⊥u,l⊥α⇔a∥u.变式训练2:(1)若直线l的方向向量a=(3,2,1),平面α的法向量u=(-1,2,-1),则l与α的位置关系是()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l⊂α或l∥α答案:D(2)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则l与α的位置关系式()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交答案:B(2)题型三求平面的法向量例3:已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.变式训练3:已知点A(1,2,3),

7、B(2,0,-1),C(3,-2,0)在平面α内,求平面α的一个法向量.题型四共线向量的应用答案:C规律技巧:此题的关键是把长度关系式转化为向量等式,再坐标化.变式训练4:空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3)则直线AB与CD的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定答案:A技能演练(学生用书P79)基础强化1.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α法向量的是()A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.