高等数学-微积分基本公式

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1、1设物体从某定点开始作直线运动,在t时刻物体所经过的路程为S(t),速度为vv(t)S(t)(v(t)0),则在时间间隔[T1,T2]内物体所经过的路程S可表示为一、位置函数与速度函数之间的联系上式表明,速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1,T2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？即2二、积分上限的函数及其导数则积分上限的函数证明有定理1若3若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则定理2(牛顿莱布尼茨公式)证明因为F(x)和(x)都是f(x)的原函

2、数所以存在常数C使F(x)(x)C.由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即三、牛顿莱布尼茨公式4牛顿莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.三、牛顿莱布尼茨公式若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则定理2(牛顿莱布尼茨公式)5解解例1例2计算正弦曲线ysinx在[0p]上与x轴所围成的平面图形的面积A6例3汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车

3、以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？t2(s).当汽车停止时,有v(t)v0at105t.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)105t0,汽车刹车时的初速度为解于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为7解如被积函数有绝对值,注:再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值例4求8例5已知函数求积分上限的函数解9证明例6设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有设F(x)为f(x)的一个原函数,则有于是10例7解例6设f(x)连续,u1(x),u2(x)可导,则有例8解11例9设f(x)为连续的周期函数,周期

4、为T,试证证明12例10设f(x)在[0,)内连续,且f(x)>0证明函数在(0)内为单调增加函数证明因为按假设当0tx时,f(t)>0(xt)f(t)>0所以从而F(x)>0(x>0)因此F(x)在(0)内为单调增加函数13例11求极限解原式14解设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.例1215例13试证:证明