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1、第二节空间直角坐标系与向量的坐标表示ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,坐标面卦限(八个)1.空间直角坐标系的基本概念ⅠzOx面在直角坐标系下向径坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);坐标轴:坐标面:2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分向量,的坐标为此式称为向量r的坐标分解式,任意向量r可用向径O
2、M表示.记四、利用坐标作向量的线性运算则平行向量对应坐标成比例:设例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:①②2×①－3×②,得代入②得例3.已知两点在AB所在直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与例4.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xOy面上与
3、A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.(1)如何求在xOy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点解:求AB的单位向量e.2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.方向余弦的性质:例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角
4、.解:计算向量例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹第二节3.向量在轴上的投影第二节则a在轴u上的投影为例如,在坐标轴上的投影分别为设a与u轴正向的夹角为,,即投影的性质2)1)(为实数)例9.第二节设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且求OA在OM方向上的投影.解:如图所示,记∠MOA=,作业P123,5,13,14,15,18,19备用题解:因1.设求向量在x轴上的投影及在y轴上的分向量.在y轴上的分向量为故在x轴上的
5、投影为2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为对角线的长为解：为边的平
