高等数学B：7_2空间直角坐标系及向量运算的坐标表示.doc

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1、§7.2空间直角坐标系及向量运算的坐标表示7．2．1空间直角坐标系（一）空间直角坐标系1.空间直角坐标系的建立（1）点—坐标原点；（2）三条互相垂直的数轴、、—坐标轴；（3）面、面、面—坐标平面。2．卦限（1）卦限的概念（2）各卦限中点的坐标的符号卦限坐标一二三四五六七八x+--++--+y++--++--z++++----3．空间点的坐标（1）空间点M有序实数组（x，y，z）（2）点M的坐标：—点M的横坐标；—点M的纵坐标；—点M的竖坐标。4．特殊点的坐标（1）原点O（0，0，0）；（2）坐标轴上的点；12（3）坐标平面

2、上的点。例1、过点M（4，3，2）分别作三个坐标面的平行平面，与坐标面围成一个长方体，求长方体各顶点的坐标；423M解：（1）长方体顶点的坐标为：（4，0，0），（4，3，0），（0，3，0），（0，0，0），（4，0，2），（4，3，2），（0，3，2），（0，0，2）。5．与点M（x，y，z）分别关于各坐标平面、各坐标轴以及原点对称的点的坐标。解：（1）与点M关于平面对称的点为M；（2）与点M关于平面对称的点为M；（3）与点M关于平面对称的点为M；（4）与点M关于轴对称的点为M；（5）与点M关于轴对称的点为M；（6）与

3、点M关于轴对称的点为M；（7）与点M关于原点对称的点为M。6．空间两点间的距离（1）设M，M为空间两点，过M、M分别作平行于各坐标面的平面，组成一个长方体，它的棱与坐标轴平行，12∵，M1M2PQR，，∴==。（2）点M（x，y，z）到原点的距离例2．试在轴上求出一点P，使它与点M（4，1，2）的距离为。解：设点P的坐标为（x，0，0），则有，即，，x＝9或x＝－1，∴所求点P的坐标为（9，0，0）或（-1，0，0）。例3．求点M（4，-3，5）到原点及各坐标轴的距离。解：过M点分别作轴、轴、轴的垂线，垂足分别为A、B、C

4、，则它们的坐标分别为A（4，0，0）、B（0，-3，0）、C（0，0，5）。，，，12。7．坐标轴的平移设有两个坐标系（旧）和（新），假设这两个坐标系的各轴对应平行且指向相同。设点关于坐标系的坐标为，点关于坐标系的坐标为，新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标为，则或。（二）向量的坐标表示1．向量的坐标（1）基向量（或基本坐标向量）在空间直角坐标系中，与、、的正向同向的单位向量分别记为，，，称为基向量。（2）向量的坐标表示式ABCQMy设为空间一点，作向量，分别为点上，上，上的投影点，则在上的坐标，在上的坐标，在上的坐标，则有，

5、同理，。由向量的加法得。12称为向量坐标表示式，记作，其中称为向量坐标。一般地，设向量在三个坐标轴上的投影分别为，将向量平移，使其起点移到坐标原点，因平移后的向量与原向量相等，故它在坐标轴上的投影仍为，故向量的坐标表示式为：或。（3）以为起点，为终点的向量的坐标表示式。ABy解：++）-++）++，得的坐标依次为；；，即。由此可知，起点不在坐标原点的向量的坐标，恰好等于向量相应的终点坐标与起点坐标之差。2．向量的模和方向余弦设非零向量的起点为坐标原点，终点为，则，。的方向可由该向量与三坐标轴正向的夹角（其中，或这三个角的余

6、弦来表示。、、称为向量方向角；12、、称为向量方向余弦。yMQPR∵，，都是直角三角形，∴，，，且。∵向量的模等于1，∴由方向余弦所组成的向量是单位向量，即。例3．（1）已知，求其方向余弦和同向的单位向量.解：，，，。。（2）已知、，求的模及方向余弦。解：，，，，。例4．设向量的两个方向余弦为，，又，求向量12的坐标。解：∵，，，∴。，，，∴或。例5．设有两点和，点有向线段分成两个部分，使，求的坐标。解：设的坐标为，则有，即，故有，，，解之得的坐标：，，。特别地，当时，得的坐标：，，。7．2．1向量运算的坐标表示利用向量的

7、坐标表示式、向量加法的交换律和结合律，以及数乘向量的结合律和分配律，可以将向量的运算转化为普通的代数运算。121．向量的加减法与数乘的坐标表示设，即++，++，（1）++++）++（2）++）++。或（1），（2）.两个非零向量∥的充要条件是，则可写成或。　　　例7．已知，，求，，。解：；；。2．数量积的坐标表示设，，则·+·+·+·+·+·+·+·+·，12。两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和。3．两非零向量夹角余弦的坐标表示式设，均为非零向量，则。例8．已知，，求·、、。解：，，·；；。例9．求在平面上与向量垂直的

8、单位向量。解：，设所求的单位向量为，则有，·=0，，∴或。4．向量积的坐标表示设，，则12，即。若、为两非零向量，则∥※（其中都不为零。）当中出现零时，仍用※式表示，但约定相应的分子为零，例如，应理解为=0，。例11．求以，，为顶点的三角形的面积。解：由向量积的定义可知的面积，，＝=，。例12．求同时垂