直线和圆定值定点最值经典题训练

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1、直线与圆定值定点最值经典题训练1．已知过点A(0,1)，且斜率为k的直线与圆相交于M,N两点.（1）求实数k的取值范围；（2）求证：AM⋅AN为定值；2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，且与直线3x﹣4y+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+2与圆C交于M，N两点，是否存在直线l，使得OM→⋅ON→=6（O为坐标原点）若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．3．已知圆O:x2+y2=1，直线l过点A(3,0)且与圆O相切.（I）求直线l的方程；（II）如图，圆O与x轴交于P,Q两点

2、，点M是圆O上异于P�Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l1，直线PM交直线l1于点E，直线QM交直线l1于点F，求证：以EF为直径的圆C与x轴交于定点B，并求出点B的坐标.4．已知圆C:(x-4)2+(y-1)2=4,直线l:2mx-(3m+1)y+2=0（1）若直线l与圆C相交于两点A,B，弦长AB等于23，求m的值；（2）已知点M(4,5)，点C为圆心，若在直线MC上存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有

3、PM

4、

5、PN

6、为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及改常数．5．如图在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+(y

7、-2)2=1，且圆C与y轴交于M,N两点（点N在点M的上方），直线l:y=kx(k>0)与圆C交于A，B两点。（1）若AB=255，求实数k的值。（2）设直线AM，直线BN的斜率分别为k1,k2，若存在常数a使得k1=ak2恒成立？若存在，求出a的值.若不存在请说明理由。（3）若直线AM与直线BN相较于点P，求证点P在一条定直线上。参考答案1．(1)[4-73,4+73]；(2)见解析.【解析】【分析】(1)由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围；(2)由题意可得,经过点

8、M,N,A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程化简,再利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2和x1⋅x2的值，可得y1⋅y2=kx1+1kx2+1的值，利用AM⋅AN=x1,y1-1⋅x2,y2-1=x1⋅x2+y1⋅y2-y1+y2+1，即可得出结论.【详解】（1）由题意过点A(0,1)且斜率为k的直线的方程为y=kx+1，代入圆C的方程得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0，∵直线与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点，所以Δ=[-4(1+k)]2-4×7×(1+k2)>0，解得4-73

9、范围是[4-73,4+73].（2）证明：设M(x1,y1),N(x2,y2),AM=(x1,y1-1),AN=(x2,y2-1),x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2，y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2=4(1+k)1+k2+2，y1y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1所以AM⋅AN=(x1,y1-1)⋅(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=x1x2+k2x1x2=71+k2+7k21+k2=7，∴AM⋅AN

10、为定值.【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2．（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2=1（2）不存在直线l【解析】【分析】（1）根据题意，分析可得&d=

11、3a-4b+1

12、5=1&3a-2b=0，解可得a、b的值，由圆的标准方程即可得答案；（2）假设存在满足题意的直线l，设M（x1，y1）N（x2，y2），联立直线与圆的方程，由直线与圆相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由数量积的计算公式可得OM→•ON

13、→=（1+k2）41+k2+2k(2k+4)1+k2+4=6，解可得k的值，验证是否满足△＞0，即可得答案．【详解】（1）根据题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）关于直线3x﹣2y=0对称，即圆心（a，b）在直线3x﹣2y=0上，圆C与直线3x﹣4y+1=0相切，则C到直线l的距离d=r=1，则有&d=

14、3a-4b+1

15、5=1&3a-2b=0，解得&a=2&b=3或&a=-43&b=-2（舍）∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．（2）假设存在直线l，使得OM→⋅ON→=6，设M（x1，y1）N（x2，y2），由&y=kx+2

16、&(x-2)2+(y-3)2=1得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，由△=（2k+4）2﹣16（1+