初中数学论文：谈初中数学中的数形结合

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1、初中数学论文：谈初中数学中的数形结合【摘要】数形结合是初中数学教学中非常重要的一种数学解题思想，也是一种有效的解题方法，不仅能培养学生的创新精神，发展学生的想象力，还能提高学生的思维能力.【关键词】初中数学；数形结合数与形是数学知识体系中的两块基石，是数学教学与研究中不可分割的两方面，数侧重于研究物体数量方面，具有精确性，形侧重于研究物体形的方面，具有直观性.著名数学大师华罗庚曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微.这句话道出了数与形之间的紧密联系.数形结合其实就是通过结合抽象的数学语言和直观的图形，将抽象思维与形象思维有机地结合

2、起来，将数量关系转化为相关元素的数量计算，这样既能充分发挥数的优势，又能利用形的直观性，借助形象思维解决抽象的问题，达到化难为易的目的.本文主要结合自身教学实践，谈谈初中数学中经常用到数形结合的几个方面.一、通过数轴达到数与形的结合数轴是实现数形结合的一个重要途径，数轴上的点与实数的关系是一一对应的，点即形，实数即数，它充分表现出了数的准确，形的直观，把负数、相反数、绝对值、有理数的大小比较、不等式等有机地融合在一起，这样的数量关系可以通过几何图形进行直观的描述，直观地反映了客观世界.比如相反数就是让学生认识到原点两旁到原点距离相等

3、的两个点所表示的数.零的相反数是零本身也即是原点（如图１）.绝对值表示这个数的点与原点的距离.通过数轴可以很直观地、快捷地确定结论，很容易比较出两点之间到原点的距离大小.如ａ点到原点的距离比ｂ点到原点的距离大（如图２）.利用数轴数形结合的优势，可以解决一些代数问题.如绝对值小于６大于２的整数有哪些？分析这个问题可以通过建立数轴，利用数形结合，直观地解决问题，减少学习阻力（如图３）.解不等式时可以通过数轴找到满足条件的解，简化不等式的解法.如解不等式

4、ｘ－３

5、＜６.解这个不等式时，可以根据绝对值的几何意义，把本题看作是数轴上的点ｘ到３

6、的距离小于６，这样很容易找到满足条件的ｘ的值，即－３＜ｘ＜９．（如图４）二、通过直角坐标系达到数形结合直角坐标系可以看作是升级版的数轴，在初中数学教学中占有非常重要的地位.在直角坐标系中，有序实数对和平面内的点的关系是一一对应的，使数与形完美地结合在一起，达到了和谐统一.初中阶段要学习的一次函数、反比例函数、二次函数都是通过直角坐标系来实现数形的完美结合，从而对形的认识更为清晰、深刻，对数的理解更为形象、具体.如图５，函数ｙ＝与ｙ＝ｘ－ｋ（ｋ≠０）在同一直角坐标系中的图像只可能是（）.分析当ｋ＞０时，函数ｙ＝的图像在第一、三象限，只

7、有ｂ，ｄ符合条件；而对于函数ｙ＝ｘ－ｋ来说，其图像过第一、三、四象限，所以，ｂ，ｄ不可能；当ｋ＜０时，函数ｙ＝的图像在第二、四象限，只有ａ，ｃ符合条件，而对于函数ｙ＝ｘ－ｋ来说，其图像过第一、三、四象限，ｃ不可能.所以选ａ.解答本题要反复对比图像，是数形结合解题的典型.再如解不等式＞ｘ－１.可以假设ｙ１＝，ｙ２＝ｘ－１，这就把不等式的解转化为使ｙ１比ｙ２大的所有值.ｙ１为反比例函数，ｙ２为一次函数，可以通过直角坐标系画出它们的图像，两图像的焦点ａ、ｂ的横坐标，即是方程＝ｘ－１的解.从图像可以看出，当ｘ＜－１或者０＜ｘ＜２时，ｙ１＝的

8、图像在直线ｙ２＝ｘ－１的上方，也就是说对同一个ｘ值，ｙ１的值总比ｙ２的值大.所以，不等式的解是ｘ＜－１，０＜ｘ＜２.（如图６）三、通过函数达到数形结合通过对抽象的数赋予直观图形的意义，以形助数，或者对直观的图形给予代数的意义，以数促形，会极大地发挥数形结合的作用.初中阶段对于函数性质的学习，是有一定的难度的，对函数的增减性、图像在直角坐标系中的位置比较难把握.但通过函数学习，学生也会真正意识到数与形的密不可分，主要是通过函数的图像体现出来的.函数的图像是一个集合，是平面上满足函数关系式的所有点的集合，通过图像来研究函数，更为直观、具

9、体.因此，在教学的过程中，可以借助直观的图形授课，起到化繁为简、化难为易的目的.比如学习“解直角三角形”时，可以从三角函数的概念入手，来推导三角形的解法和应用，在这一过程中具体的体现了数形结合的思想方法.解直角三角形具体的问题时，可以借助图形的直观性确定已知元素、未知元素，并找出其间的关系，顺利地解决问题，从而突破难点.再如方程ｘ２＋ａｘ＋ｂ＝０的实根均大于１，设ｓ＝ａ＋ｂ＋１，试判断ｓ的符号.解这个方程如果不借助图形，使用一般的方法则比较复杂.借助图形可以直观地进行形象思维，可以把原题转为函数来解，也即是使ｙ＝ｘ２＋ａｘ＋ｂ的图像

10、在ｘ轴上两交点的横坐标均大于１.当ｙ＝１时，ｓ＝ａ＋ｂ＋１，从图像上很容易就可以看出ｓ＞０．（如图７）四、通过勾股定理达到数形结合勾股定理是直角三角形的重要性质，反映了直角三角形三条边之间的数量关系，是数形结合的典型，初中数学中的很多