数学人教版八年级上册角的平分线

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1、教学目标【知识与技能】1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.【过程与方法】1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.【情感、态度与价值观】1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.重点难点【重点】角平分线的性质定理及其逆定理.【难点】理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.教学过程一、创设情境,导入新知师:同学们

2、知道怎样作出角的平分线吗?生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.作法:1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1). 2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线,如图(3).师:通过上面的作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”由于这一点可能在直线上或直线外,这个作图要分两种情况:1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB上

3、一点C,如图(1).求作:AB的垂线,使它经过点C.作法:作平角ACB的平分线CF.直线CF就是所求的垂线. 2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线AB和AB外一点C,如图(2).求作:AB的垂线,使它经过点C.作示:(1)任意取一点K,使K和C在AB的两旁;(2)以点C为圆心、CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以点D和点E为圆心、大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;(4)作直线CF.直线CF就是所求的垂线.教师边操作边讲解:用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,

4、又看到了什么?学生操作.师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么?生:是这个角的平分线.师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?生:一样长.师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:操作:(1)折出如上图中的折痕PD、PE;(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?学生思考后回答.问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:图形 已知事项 由已知事项推出的事项  OP平分∠AOB,

5、PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D、E PD=PE　　(推证定理1)问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:图形 已知事项 由已知事项推出的事项  DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分别为E、C,DE=DC. ∠DAE=∠DAC　　问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.(推证定理2)三、练习新知,加深理解师:下面我们接着来探讨上面的问题3.教师多媒体出示:(1)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)∴DC=DE.(　　)(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)∴点D在∠BAC的平

6、分线上.(　　)学生思考后抢答,教师板书.第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.教师多媒体出示:【例1】　已知:如图所示,∠C=∠C'=90°,AC=AC'. 求证:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)学生思考后交流讨论.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.证明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义)又∵AC=AC',(已知)∴点A在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个

7、角的平分线上)∴∠ABC=∠ABC'.(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)即∠BAC=∠ABC'.∵BC⊥AC,BC'⊥AC',∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)【例2】　已知:如图,△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.求证:AP平分∠BAC. 证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边