[高中]二项式定理

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1、【高考导航】二项式定理在高考中每年一道题，题型为以下几种：求展开式某一项或某一项的系数；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和；二项式某一项为字母，求这个字母的值；求近似值的问题.试题难度不大，与教材习题相当.因此，二项式定理一节内容的学习或复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，不必追求难解题. 【学法点拨】本节内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式乘方的展开式，是培养观察，归纳能力的好题材，二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、

2、项数、系数等方面内在联系的重要定理，应在(a＋b)2、(a＋b)2、（a＋b）2的展开式的了解基础上，归纳掌握好二项式定理.通项公式T＝C(r＝0，1，2，…，n)集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式.二项式系数C(r＝0，1，2，…，n)是一组仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，而与a、b无关，它不包括a、b本身（或a、b的某次幂）的系数.只有当求某指定项的系数时，才包括a、b的系数，称展开式中的某

3、一项的系数，当二项式两项本身的系数都是1时，展开式的二项式系数就是展开式各项的系数，但当二项式的两项本身的系数不为1时，这两者就不同了，要在把握概念的基础上掌握好二项式系数的性质及应用. 【基础知识必备】一、必记知识精选1.二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)2.通项公式：Tr＋1＝Can－rbr3.二项式系数性质：(1)距两端等距离的二项式系数相等，即C＝C.(2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大.当n为偶数时，中间一项（即第＋1项）的二项式系数最大;当n为奇数时

4、，中间两项（即第和第＋1项）的二项式系数最大.(3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2n，即：C＋C＋C＋…＋C＝2n.(4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.二、重点难点突破掌握二项式定理及其通项公式是本节的重点，会求二项展开式、展开式的中间项等指定项，会求二项式系数，指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用，是本节的难点.突破难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式.(a＋b)n的展开式具有如下性质：1.展开式的项数：共n＋1项.

5、2.展开式的每一项的指数：a与b的指数之和为n，即二项展开式各项的次数等于二项式的次数n，字母a的指数依次降幂排列，指数由n逐次减1直到0，字母b按升幂排列，指数从0起逐项加1到n.3.二项式系数的特征：每一项的系数为一组合数，第r＋1项的系数为C.学习二项式定理时，还应注意：1.二项式定理从左到右的使用为展开，从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个公式的逆用功能不可忽视.2.对于通项公式是相对于(a＋b)n标准形式而言的，对于(a－b)n的展开式的通项Tr＋1＝(－1)rCan－rbr，它是第r＋1项而不是第r项，公式中的a，

6、b位置不能颠倒.利用通项公式可求展开式的特定项.3.应用二项式定理时，要有目标意识，同时要处理好“一般”与“特殊”的关系，注意变形的技巧以及等价转化的数学思想方法.三、易错点和易忽略点导析本节易错点是在审题时，观察不仔细，不能发现差异，或将二项式系数与某项系数混淆，现举例说明.【例1】如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7的值等于（　　）A.－2　　　　　　B.－1　　　　　　C.0　　　　　　　D.2正确解法：令f(x)＝(1－2x)7，则f(1)＝(1－2)7＝a0＋a1＋…＋a7＝

7、f(1)＝－1.又令x＝O，得a0＝1.∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－a0＝－2.故选A.错解分析：错因在于审题失误，未注意到式子a1＋a2＋…＋a7中没有a0，致使赋值x＝1后便认为是所求，因此，解此类问题要仔细观察，克服粗心大意.【例2】求C＋C＋C＋…＋C的值.正确解法：C＋C＋…＋C＝211－C＝2048－1＝2047.错解分析：忽略了二项式系数的和是指C＋C＋C＋…＋C＝2n，或者是审题未发现缺少C而出现失误.【例3】求(x＋－1)5展开式中的常数项.正确解法一：∵（x＋－1）5＝[(x＋)－1]5，∴通项为Tr＋1＝C

8、(x＋)5－r·(－1)r（0≤r≤5）当r＝5时，T6＝C(－1)5＝－1；当0≤r＜5时，(x＋)5－r的通项为T′k＋1＝Cx5－r－k·()k＝Cx5－r－2k(0≤k≤5－r).∵0≤r≤5，且r∈Z.∴r只能取1或3相应的k值分别为2或