三角函数的最值(专题)

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1、三角函数的最值（专题）一、知识要点1、配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数的最值，可转化为求函数上的最值问题。2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：，其中tan=.3、（或）型，解出（或）利用（或）去解；或用分离常数的方法去解决.4、数形结合形如：（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当时，还可以利用数形结合的方法去处理.常用到直线斜率的几何意义，例如求函数的最大值和最小值。函数的几何意义为两点连线的斜率，5、换元法求最值对于表达式中同时含有sinx+cos

2、x，与sinxcosx的函数，运用关系式一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。*特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。二、题型剖析1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例1：求函数的最值，并求取得最值时的值。练习：1、已知函数。（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；2．已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；3．已知函数。（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例2已知

3、函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。练习：1、求函数f（x）=cos2x+sinx在区间［－，］上的最小值？2、函数的最小值为（）.A．2B.0C.D.63、求函数y=5sinx+cos2x的最值4、是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明理由。例题3。y=的最大值是_________，最小值是_________.练习：1函数y=的最大值是_______，最小值是_______.2、求函数的值域________3、求函数的值域________例4求函数y=的最大值和最小值.1、y=（0＜x＜π）的最小值是___

4、_____.2、求函数的最大值________.3、换元法解决同时出现的题型。例5．求函数的最小值练习：1、求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域.2、函数的最大值为最小值为[思维点拨]：遇到与相关的问题，常采用换元法，但要注意的取值范围是，以保证函数间的等价转化小结：求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理.基本类型（1）（或）型，可令（或），，化归为闭区间上二次函数的最值问题.（2）型，引入辅助角，化为，利用函数即可求解.（3）（或）型，解出（或）利用（

5、或）去解；或用分离常数的方法去解决.（4）（或）型，可化归为去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当时，还可以利用数形结合的方法去处理.（5）对于含有的函数的最值问题，常用的方法是令将转化为的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.（6）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论.三、巩固练习：1、当时，函数的最小值为（）（A）2（B）（C）4（D）2、已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是()(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2k＋13、设，对于函数，下列结论正确的是（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大

6、值且有最小值D．既无最大值又无最小值4、已知函数,则的值域是（）(A)(B)(C)(D)5、函数y=sin2+4sinx,x的值域是（）(A)［-,］(B)［-,］(C)［］　(D)［］6、设函数为常数）的最大值为1，最小值为-7，那么的最大值是.7、设实数x,y,m,n满足m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是常数，且ab)，那么mx+ny的最大值是.8、已知函数，.求:(I)函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；(II)函数的单调增区间.9、求函数＝2＋的值域和最小正周期．